Nombres complexes

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L'ensemble des nombres complexes
1. Définition des nombres complexes
  - Muni des règles usuelles de calcul, l'ensemble : \[ \C = \big\{x+i\,y \pour (x,y)\in\R^{2}\big\} \] ou encore : \[ \C = \big\{z \tq \exists(x,y)\in\R^{2}\;\; z =x+i\,y\big\} \] est un corps, où l'on calcule comme dans $\R$, mais avec $i^{2}=-1$.
  - Que dire de l'écriture $z =x+i\,y$ ?
    Cette écriture est unique mais à condition de préciser $\ldots$
    $$(x,y)\in\R^{2}.$$ On note alors : \[ x=\Re z\Et y=\Im z. \] Ces réels sont respectivement appelés partie réelle et partie imaginaire du complexe $z$.
  - Les réels sont les complexes $z$ pour lesquels $\ldots$
    \[ \Im z = 0. \]
  - Les complexes de partie réelle nulle sont $\ldots$
    $\ldots$ les imaginaires purs. Leur ensemble se note $i\,\R$.
    
    On peut aussi caractériser les imaginaires purs par :
    \[ z \in i\,\R \,\Longleftrightarrow\, \exists y\in\R \quad z=i\,y. \]
  - Règles de calcul sur les parties réelles et imaginaires
    Si $z\in\C$ et $z'\in\C$, alors :
    
    pour la somme, $\ldots$
    $\ldots$ on a : \[ \Re(z+z') = \Re z +\Re z' \] ainsi que : \[ \Im(z+z') = \Im z +\Im z'. \]
    
    pour le produit, $\ldots$
    $\ldots$ on a : \[ \Re(z\,z') = \Re z\times \Re z' - \Im z'\times\Im z \] ainsi que : \[ \Im(z\,z') = \Re z\times\Im z' +\Im z\times\Re z'. \]
    Si ces dernières relations vous posent problème
    Il suffit d'utiliser : $$x=\Re z\quad y=\Im z \quad x'=\Re z' \et y'=\Im z'$$ et de faire le produit (de tête si possible) sous la forme : \begin{align*} z\, z' &=(x+i\,y)\,(x'+i\,y')\\\\ &= (x\,x'-y\,y')+i\,(x\,y'+y\,x'). \end{align*}
  - Représentation géométrique
    Dans le plan usuel, muni d'un repère orthonormal direct $(O,\vec\imath,\vec\jmath)$, tout point $M$ est caractérisé par un unique couple de coordonnées $(x,y)$ vérifiant : $$\vect{OM}=x\,\vec\imath+y\,\vec\jmath.$$
    
    le complexe $z=x+i\,y$ est alors appelé $\ldots$
    $\ldots$ affixe du point $M$;
    
    le point $M$ est aussi appelé $\ldots$
    $\ldots$ image du complexe $z$.
    
    Pour tout vecteur $\vec u =x\,\vec\imath+y\,\vec\jmath$, le complexe $z=x+i\,y$ est aussi appelé $\ldots$
    $\ldots$ affixe du vecteur $\vec u$.
    
    Une telle représentation permet de retenir de nombreux résultats ; il ne faut surtout pas s'en priver !
    
    Voir ici pour quelques complexes remarquables.
    
    Voir ici pour l'interprétation de la somme et la différence de deux nombres complexes.
    
    Voir éventuellement ici pour l'interprétation du produit, mais cela utilise la notion d'argument qui sera introduite dans la suite.
  - Relation d'ordre
    Contrairement à $\R$, l'ensemble $\C$ n'est usuellement muni d'aucune relation d'ordre. On ne peut donc pas dire qu'un complexe est inférieur à un autre, ni donc qu'il est positif ou négatif.
  - Construction non exigible.
    
    Première méthode On pose $ \C = \R^{2} $.
    On le munit des « bonnes lois ».
    
    Pour l'addition, on prend l'addition usuelle de $\R^{2}$ :
    \[ (x,y)+(x',y') = (x+x', y+y') \]
    
    Pour la multiplication, « on s'arrange » afin d'avoir ce que l'on a l'habitude d'utiliser avec les complexes :
    \[ (x,y)\times (x',y') = (x\,x'- y\,y', x\,y'+y\,x'). \]
    
    Et comment retrouve-t-on $\R$ dans cet ensemble ?
    En identifiant $\R$ avec : \[ \{(x,0) \pour x\in\R\} \] grâce au morphisme injectif : \[ \fonction{\R}{\C}{x}{(x,0)} \]
    
    Seconde méthode En utilisant les matrices
    On pose : \[ \C = \bigg\{ \begin{pmatrix} a&b\\-b&a\end{pmatrix} \pour (a,b)\in\R^{2}\bigg\}. \] Muni des lois induites par celles de ${\cal M}_2(\R)$, c'est un corps commutatif. Et l'on retrouve $\R$ en utilisant $\ldots$
    $\ldots$ le morphisme injectif : \[ \fonction{\R}{\C}{a}{\begin{pmatrix} a&0\\0&a\end{pmatrix}} \]
2. Conjugué d'un nombre complexe
  1. Définition
    
    Définition Pour tout complexe $z$, le conjugué de $\,z$ est le complexe $\bar{z}$, défini par : \[ \bar{z}\,=\Re z-i\,\Im z. \]
    
    On a évidemment $\overline{\bar{z}\,}=\cdots$
    \[ \overline{\bar{z}\,}=z. \]
    
    Représentation géométrique : voir ici
  2. Relation avec parties réelle et imaginaire
    
    Proposition 1 Pour tout $z\in\C$, on a : \[ \Re z=\frac{z+\bar{z}}{2} \et \Im z=\frac{z-\bar{z}}{2i}\cdot \]
    
    Méthode Avant de mettre $z$ sous la forme $x+i\,y$, toujours penser à ce qui suit.
    
    Un complexe $z$ est réel si, et seulement si :
    \[ z=\bar{z}. \]
    
    Un complexe $z$ est imaginaire pur si, et seulement si :
    \[ z=-\bar{z}. \]
  3. Règles de calcul sur les conjugués
    
    Pour une somme, une différence ?
    Pour $z_1\in\C$ et $z_2\in\C$, on a : \[ \overline{z_1+z_2} = \overline{z_1}+ \overline{z_2} \] ainsi que : \[ \overline{z_1-z_2} = \overline{z_1}- \overline{z_2} \] Justification
    Immédiat (même de tête) avec les parties réelles et imaginaires.
    
    Pour un produit, un quotient ?
    Pour $z_1\in\C$ et $z_2\in\C$, on a : \[ \overline{z_1 \times z_2} = \overline{z_1} \times \overline{z_2}. \] Si, de plus, $z_2\in\C^{*}$, alors on a : \[ \overline{\Big(\frac{z_1}{z_2}\Big)} = \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}. \] Justification
    
    Pour le produit, faire le calcul avec les parties réelles et imaginaires.
    
    Pour le quotient, utiliser l'astuce : \[ z_1 = \Big(\frac{z_1}{z_2}\Big)\times z_2. \]
    
    Exemple 1 Soit $n\in\N$, soit $(a_0,\ldots ,a_n)\in\R^{n+1}$ et l'application $P$ : \[ P : \fonction{\C}{\C}{z}{\sum_{k=0}^{n}a_k\,z^k} \] Vérifier que, pour tout $z\in\C$, on a $\overline{P(z)} = P(\bar z)$.
    D'après les règles de calcul sur les conjugués, on a : \begin{align*} \overline{P(z)} & =\sum_{k=0}^{n}\overline{a_k\,z^k}\\\\ & =\sum_{k=0}^{n}\overline{a_k}\,\overline{\,z^k}\\\\ & = \sum_{k=0}^{n}a_k\,\bar{z} ^k\\\\ & =P(\bar z). \end{align*}
    Remarque Pour tout $k\in\ceo0,n\cef$, on a $\overline{a_{k}} = a_k$ car $a_k\in\R$.
    
    Exemple 2 Soit $(n,m)\in\N^2$, $(a_0,\ldots,\,a_n)\in\R^{n+1}$ et $(b_0,\ldots,\,b_m)\in\R^{m+1}$. Lorsque $z\in\C$ et $\sum_{k=0}^{m}b_k\,z^k \neq 0$, on pose : $$R(z) = \frac{\sum_{k=0}^{n}a_k\,z^k}{\sum_{k=0}^{m}b_k\,z^k}\cdot$$
    Vérifier que l'on a alors $ \ds\overline{R(z)} = R(\bar{z})$.
    Ne pas oublier de commencer par vérifier que $R(\bar{z})$ est défini.
    
    Étant donné que : \[ \sum_{k=0}^{m}b_k\,\bar{z}^k = \overline{\sum_{k=0}^{m}b_k\,z^k} \] et que $\sum_{k=0}^{m}b_k\,z^k \neq 0$ par hypothèse, on en déduit que $R(\bar{z})$ est défini.
    
    Dans l'exercice précédent, on a prouvé \[ \overline{\sum_{k=0}^{n}a_k\,z^k} =\sum_{k=0}^{n}a_k\,\bar{z} ^k \et \overline{\sum_{k=0}^{m}b_k\,z^k} =\sum_{k=0}^{m}b_k\,\bar{z}^k \] Le résultat demandé s'en déduit par quotient de conjugués.
    
    Attention Dans les exercices ci-dessus, les coefficients $a_k$ et $b_k$ sont réels ! Que deviennent ces résultats lorsque ces coefficients sont des complexes quelconques ?
    Pour le premier résultat par exemple, on ne peut pas aller plus loin que : \[ \overline{ \sum_{k=0}^{n}a_k\,z^k} =\sum_{k=0}^{n}\overline{a_k}\,{\bar z}^k. \]
    
    Méthode Les règles de calcul précédentes permettent de calculer très efficacement des conjugués, en particulier pour exprimer $z\in\R$ ou $z\in i\R$.
    Rappelons que : \[ z \in \R \Longleftrightarrow z = \bar z \] et : \[ z \in i\R \Longleftrightarrow z = - \bar z. \]
3. Module d'un nombre complexe
  1. Définition
    
    Définition Pour tout $z\in\C$, le module de $z$ est le réel positif noté $|z|$ défini par : \[ |z| =\sqrt{z\,\bar{z}} = \sqrt{(\Re z)^{2}+(\Im z)^{2}}. \]
    
    Remarque Lorsque $z\in\R$, la notation $|z|$ représente aussi bien le module du complexe $z$ que la valeur absolue du réel $z$.
    
    Méthode Pour calculer $|z|$ ou l'utiliser, toujours penser à : \[ |z| =\sqrt{z\,\bar{z}}, \] avant de penser à $| z | =\sqrt{(\Re z)^{2}+(\Im z)^{2}}$.
    
    Retour sur l'inverse d'un complexe
    Comme $z=0$ si, et seulement si, $|z|=0$, la relation : \[ z\,\bar{z} = |z|^{2} \] montre que tout complexe non nul est inversible et que : \[ \frac{1}{z}=\frac{\bar{z}\;}{| z| ^{2}}\cdot \] Voir éventuellement illustration graphique .
    
    Dans le cas particuliers des complexes de module $1$
    On a alors : \[ |z| =1 \Longleftrightarrow \Big( z \neq 0 \et \frac{1}{z}=\bar{z}\Big). \]
    
    Méthode Lorsque $|z|=1$, passer de $z^{-1}$ à $\bar{z}$ ou inversement permet de simplifier de nombreux calculs.
    
    Interprétation géométrique du module
    
    Le module d'un complexe $z$ est égal à la longueur $OM$, où $M$ est l'image de $z$.
    
    Exemple 3
    
    Si $z_1\in\C$ et $z_2\in\C$, que représente géométriquement $|z_1-z_2|$ ?
    C'est la distance des points $M_{1}$ et $M_{2}$, images respectives de $z_1$ et $z_2$.
    Posons : $$z_1=x_1+i\,y_1 \et z_2=x_2+i\,y_2$$ avec $x_1$, $y_1$, $x_2$ et $y_2$ réels. Par définition du module, on a alors : \begin{align*} |z_1-z_2| &= \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} \\\\ &=d\big(M_{1},M_{2}\big). \end{align*}
    
    Soit $\omega\in\C$ et $r\in\R^*_+$ donnés. Quel est l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$
    
    tels que $|\omega-z| = r$.
    C'est le cercle de centre le point $\Omega$ d'affixe $\omega$, et de rayon $r$.
    
    tels que $|\omega-z| \leq r$.
    C'est le disque de centre le point $\Omega$ d'affixe $\omega$, et de rayon $r$.
  2. Règles de calcul sur les modules
    
    Somme, différence
    En général pas d'égalité, mais inégalités triangulaires.
    
    Proposition 2 Pour $z_{1}\in\C$ et $z_{2}\in\C$, on a : \[|z_{1}+z_{2}| \leq | z_{1}| +|z_{2}|,\] avec égalité si, et seulement si : $$\exists{k\in\R_+}\quad z_2 = k\, z_1 \ou z_1=k\,z_2.$$ Justification
    Comparer les carrés des deux membres et utiliser : $$|z|^{2} = z\,\overline{z}.$$
    
    Proposition 3 Pour $z_{1}\in\C$ et $z_{2}\in\C$, on a : \[\bigl||z_{1}| -| z_{2}|\bigr| \leq |z_{1}-z_{2}|,\] avec égalité si, et seulement si : $$\exists{k\in\R_+}\quad z_2 = k\, z_1 \ou z_1=k\,z_2.$$ Justification
    L'inégalité peut se déduire de la première inégalité en écrivant : \[ z_1=(z_1-z_2)+z_2. \] On peut aussi faire une démonstration analogue à la précédente (en particulier pour le cas d'égalité).
    
    Plus généralement, on a le résultat suivant.
    
    Proposition 4 Pour tout $z_1\in\C$ et tout $z_2\in\C$, on a : \[ \bigl|\,|z_{1}| -| z_{2}|\,\bigr| \leq |z_{1}\pm z_{2}| \leq |z_{1}|+| z_{2}|. \]
    Voir éventuellement représentation graphique de ces inégalités.
    
    Produit, quotient
    
    Proposition 5 Pour tout $z_{1}\in\C$ et tout $z_{2}\in\C$, on a : \[ |z_{1}\,z_{2}| =| z_{1}|\, | z_{2}| \] et, si $z_2\neq0$ : \[ \left| \frac{z_{1}}{z_{2}}\right| =\frac{| z_{1}| }{| z_{2}|}\cdot \] Justification
    
    Pour la première relation, surtout ne pas utiliser les parties réelles et imaginaires, mais $\ldots$
    \[ |z|=\sqrt{z\,\bar z}. \]
    
    Pour la seconde, $\ldots$
    $\ldots$ utiliser la première en écrivant :
    \[ z_1 = \frac{z_{1}}{z_{2}} \times z_2. \]
    
    Parties réelle et imaginaire
    Pas d'égalité en général, mais $\ldots$
    
    Proposition 6 Pour tout complexe $z$, on a : \[ \Re z\leq \bigl| \Re z\bigr| \leq |z| \et \Im z\leq \bigl| \Im z\bigr| \leq |z|. \]
    Quels complexes vérifient $\Re z = |z|$ ?
    Ce sont les réels positifs.
    
    Si $z\in\R_+$, on a évidemment : $$\Re z = z = |z|,$$ et donc $\Re z =|z|$.
    
    Supposons $\Re z =|z|$. En posant : $$x=\Re z \et y=\Im z,$$ l'égalité $\Re z =|z|$ entraîne alors : $$x^2+y^2 = x^2$$ et donc $y=0$. On en déduit : $$ x = \Re z = |z| \geq 0$$ Par suite, $z=x$ est élément de $\R_+$.
    
    Comment avec le module caractériser tous les réels ?
    En écrivant par exemple : $$|\Re z| = |z|.$$
    
    Conjugué
    
    Proposition 7 Pour tout complexe $z$, on a $|z| =| \bar{z}|$.
    
    Exemple 4 Soit $z\in \C\setminus \{-i\}$. Montrer que l'on a : $$\frac{z-i}{1-i\,z}\in \R$$ si, et seulement si, $|z|=1$.
    Utiliser : \[ Z \in \R \Longleftrightarrow Z = \bar Z. \] Solution
    Soit $z\in \C\setminus \{-i\}$. Alors : $$ Z = \frac{z-i}{1-i\,z}$$ est défini, et c'est un réel si, et seulement si, $Z=\bar Z$, c'est-à-dire : \[ \frac{z-i}{1-i\,z}=\overline{\left( \frac{z-i}{1-i\,z}\right) } \] ou encore : \[ \frac{z-i}{1-i\,z} = \frac{\bar{z}+i}{1+i\,\bar{z}}, \] ce qui s'écrit aussi : \[ \left( z-i\right) \left( 1+i\,\bar{z}\right) =\left( \bar{z}+i\right) (1-i\,z) \] et donc : \[ 0 = 2i\,(z\,\bar{z}-1)=2i\,(|z|^{2}-1). \] Comme cette dernière condition est équivalente à $|z|=1$, on a bien établi la propriété demandée.
    
    Exemple 5 Soit $n\in\N$ et $(z_0,\ldots,\,z_n) \in \C^{n+1}$. Montrer $\left| \sum_{k=0}^{n}z_k\right| \leq \sum_{k=0}^{n}|z_k|.$
    Démonstration par récurrence sur $n\in\N$
    Montrons par récurrence sur $n\in\N$ la relation $H_n$ : \[ \fa{(z_0,\ldots\,z_n) \in \C^{n+1}} \left| \sum_{k=0}^{n}z_k\right| \leq \sum_{k=0}^{n}|z_k|. \]
    
    $H_0$ est évident puisque, pour tout $z_0\in\C$, on a : $$|z_0| \leq |z_0|.$$
    
    Soit $n\in\N$ tel que $H_n$ soit vraie.
    Soit $(z_0,\ldots\,z_{n+1}) \in \C^{n+2}$. L'inégalité triangulaire donne : \begin{align*} \left| \sum_{k=0}^{n+1}z_k\right| &= \left| \Big(\sum_{k=0}^{n}z_k\Big)+z_{n+1}\right|\\\\ &\leq \left| \sum_{k=0}^{n}z_k\right| +|z_{n+1}|, \end{align*} et l'hypothèse $H_n$ donne alors : \begin{align*} \left| \sum_{k=0}^{n}z_k\right| +|z_{n+1}| \leq \sum_{k=0}^{n}|z_k|+|z_{n+1}| = \sum_{k=0}^{n+1}|z_k|, \end{align*} ce qui termine la démonstration.
4. Nombres complexes de module $1$
  L'ensemble des nombres complexes de module $1$ est noté $\U$.
  - Stabilité de $\U$ par somme et différence ?
    Absolument pas !
    On a par exemple : \[ 1 + 1 = 2 \] avec $|1|=1$ et $|2| \neq 1$.
  - Stabilité de $\U$ par produit et quotient ?
    
    Proposition 8
    
    Le produit de deux éléments de $\U$ est élément de $\U$.
    
    L'inverse de tout élément de $\U$ est élément de $\U$.
    Justification
    Cas particulier des règles de calcul sur les modules de produits et quotients.
  - Première définition d'exponentielle complexe : $ e^{i\theta}$
    
    Définition Pour $\theta\in\R $, on pose : $ e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta . $
    
    Règles de calcul
    
    Proposition 9 Pour $\theta \in \R$ et $\varphi \in \R$, on a : $$ e^{i\theta }\times e^{i\varphi }=e^{i(\theta +\varphi )}$$ ainsi que : $$ e^{-i\phi}=\frac1{e^{i\phi}} \et \frac{e^{i\theta }}{e^{i\varphi }}=e^{i(\theta -\varphi )}.$$ Justification
    Conséquence des formules e trigonométrie.
    
    Remarque La formule : $$\ds e^{i\theta }\times e^{i\varphi }=e^{i(\theta +\varphi )}$$ justifie l'utilisation de la notation exponentielle et se retient aisément.
    En cas de doute, on peut inversement l'utiliser pour vérifier les formules donnant : \[ \cos(a\pm b) \et \sin(a\pm b). \]
    
    Représentation géométrique
    
    Proposition 10
    
    Pour tout $\theta\in\R$, on a $|e^{i\theta }|=1$ et donc $e^{i\theta }\in\U$.
    
    Réciproquement, pour $z\in\U$, il existe $\theta\in\R$ tel que $z=e^{i\theta }$.
    
    Si ${\theta }$ et $\phi$ sont deux réels, on a $e^{i{\theta }}=e^{i\phi }$ si, et seulement si, ${\theta }\equiv \phi [2\pi]$.
    Justification
    Conséquence des propriétés (supposées connues) des fonctions sinus et cosinus.
    Le second point, qui est le plus délicat à justifier, utilise la continuité et le théorème des valeurs intermédiaires.
    
    Exemple 6 Soit $\theta$ et $\phi$ deux réels donnés.
    
    Comment définir géométriquement le point $U_{\theta}$ d'affixe $e^{i\theta}$ ?
    D'après la trigonométrie, $U_\theta$ est le point du cercle trigonométrique tel que $\widehat{\big( \vect{Ox},\vect{OU_\theta}\big)} \equiv \theta\;[2\pi]$.
    
    Que peut-on dire des points $U_{\theta}$, $U_{\pi-\theta}$, $U_{\pi+\theta}$ et $U_{-\theta}$ ?
    Comme on le voit sur un dessin :
    
    $U_{\theta}$ et $U_{-\theta}$ sont symétriques par rapport à l'axe $Ox$ ;
    
    $U_{\theta}$ et $U_{\pi-\theta}$ sont symétriques par rapport à l'axe $Oy$ ;
    
    $U_{\theta}$ et $U_{\pi+\theta}$ sont symétriques par rapport à $O$.
    
    Simplifier $e^{i\frac{\pi}{2}}$, $e^{i\pi}$ et $e^{-i\frac{\pi}{2}}$.
    On a : \[ e^{i\frac{\pi}{2}} = i \,,\quad e^{i\pi} = -1 \et e^{-i\frac{\pi}{2}} =-i. \] Pour justifier ces résultats, on peut utiliser la définition, mais il est plus efficace de les visualiser sur la représentation géométrique.
    
    Comment peut-on construire $U_{\theta+\phi}$ à partir de $U_{\theta}$ et $\phi$ ?
    Le point $U_{\theta+\phi}$ se déduit de $U_{\theta}$ par une rotation de centre $O$ et d'angle $\phi$ (conséquence immédiate de la règle donnant un argument du produit).
    
    Voir éventuellement ici, voir pour manipuler un peu .
5. Argument, forme trigonométrique
  Attention, on ne parle d'argument ou de forme trigonométrique $\ldots$
  $\ldots$ que pour un complexe non nul.
  1. Définitions
    
    Proposition 11 Soit $z$ un complexe non nul.
    
    Il existe $r_0\in\R^*_+$ et $\theta_0\in\R$ tels que $z=r_0\,e^{i\theta_0}$.
    
    Si $r\in\R_+$ et $\theta\in\R$ sont tels que $z=r\,e^{i\theta}$ alors $r=|z|$.
    
    Si $\theta\in\R$ vérifie $z=|z|\,e^{i\theta}$, alors $\theta \equiv \theta_{0}\;[2\pi]$.
    Justification
    Il suffit de s'intéresser à $\frac{z}{|z|}$, ce que l'on peut écrire car $\ldots$
    $\ldots$ $z$ est supposé non nul.
    
    Définition Soit $z\in\C^*$.
    
    Tout réel ${\theta}$ tel que $z=|z|\,e^{i{\theta}}$ est appelé un argument de $z$.
    
    On appelle forme trigonométrique de $z$ toute écriture de la forme : \[ z= |z| \left( \cos \theta +i\sin \theta \right)=|z| \,e^{i\theta}\quad \et[avec] \theta\in\R. \]
    
    Le module, un module, pour tout complexe ?
    Le module d'un nombre complexe est défini de façon unique ; tout complexe, même $0$, possède un module.
    
    L'argument, un argument, pour tout complexe ?
    On ne parle d'argument que pour un complexe non nul, et un tel argument n'est défini que modulo $2\pi$. Donc toujours parler d'un argument de $z$ et non de l'argument de $z$.
    
    En revanche, on peut parler de l'argument principal de $z\in\C^{*}$.
    D'après ce qui précède, tout complexe $z$ non nul admet un unique argument dans l'intervalle $\mathopen{] }-{\pi},{\pi}] $. On l'appelle argument principal de $z$.
    
    Que dire en termes de module et d'argument pour un complexe $z$ s'écrivant sous la forme $z=a\,e^{i\theta}$ avec $a\in\R$ et $\theta\in\R$ ?
    On a $|z|=|a|$ où $|a|$ désigne la valeur absolue du réel $a$, et donc :
    
    si $a>0$, alors $\left| z\right| =a$, et un argument de $z$ est :
    \[ \theta. \]
    
    si $a<0$, alors $\left| z\right| =-a$, et un argument de $z$ est :
    \[ \theta+\pi \] puisque :
    \[ a\,e^{i\theta} = (-a)\,e^{i(\theta+\pi)}. \]
    
    si $a=0$ alors $|z|=0$, mais $z$ n'a pas d'argument, ce qui n'empêche pas de l'écrire sous la forme $ r\, e^{i\theta}$.
    
    Représentation géométrique
    Lorsqu'un complexe $z$ est mis sous forme trigonométrique : $$z=r\,e^{i\theta},$$ alors les réels $r$ et $\theta$ forment un couple de coordonnées polaires de l'image $M_z$ de $z$, ce qui signifie que l'on a : \[ r=OM_z \et \widehat{\bigl(\vi,\vect{OM}_z\bigr)}\equiv \theta\;[2\pi]. \] Voir éventuellement représentation graphique
  2. Calculs usuels
    
    Proposition 12 Soit $z_{1}\in\C^*$ et $z_{2}\in\C^*$, d'arguments respectifs $\theta_1$ et $\theta_2$. Alors :
    
    $z_1\,z_2$ est non nul, et le réel $\theta_1 +\theta_2$ est un argument de $z_{1}\,z_{2}$ ;
    
    $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ est non nul, et le réel $\theta_1 -\theta_2$ est un argument de $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ ;
    
    si $n\in\Z$, alors $z_{1}^n\neq0$, et le réel $n\,\theta_1$ est un argument de $z_{1}^n$.
    Justification
    Conséquence des règles de calcul sur $\,e^{i\theta}$.
    
    Voir éventuellement représentation graphique du produit
    
    Exemple 7 Soit $a$ et $b$ des réels non tous deux nuls. En utilisant la forme trigonométrique du complexe $a+i\,b$, retrouver la factorisation de $a\,\cos x+b\,\sin x$ vue dans le chapitre de trigonométrie.
    Par hypothèse, le complexe $a+i\,b$ est non nul. En appelant $r$ son module et ${\theta}$ l'un de ses arguments, on peut écrire : \[ a\,\cos x+b\,\sin x=r\,\cos {\theta} \,\cos x+r\,\sin {\theta} \,\sin x, \] ce qui donne : \[ a\,\cos x+b\,\sin x=r\,\cos (x-{\theta}) \] ou encore : \[ a\,\cos x+b\,\sin x =r\,\sin(x+\theta') \avec \theta'=\frac{\pi}2-\theta. \]
6. Formule de Moivre
  1. La formule
    
    Proposition 13 Pour ${\theta}\in \R$ et $n\in \Z$, on a : $$ \left(e^{i{\theta}}\right)^n=e^{in{\theta}}$$ ou encore, par définition de $e^{i\theta}$ :
    \[ (\cos{\theta}+i\sin{\theta})^n= \cos n{\theta} +i\sin n{\theta}. \]
    
    Justification
    Par récurrence pur $n\in\N$, et par passage à l'inverse pour les autres, en utilisant :
    \[ e^{i\theta} \times e^{i\phi} = e^{i(\theta+\phi)}. \]
    
    Exemple 8 Calcul de $\big( \frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\big)^{100}\cdot$
    En utilisant la formule de Moivre on obtient : \begin{align*} \left( \frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) ^{100} &=\left( \exp \frac{i \pi }{3}\right) ^{100}\\\\ &=\exp \left( \frac{100 i \pi }{3}\right)\cdot \end{align*} On peut (doit) évidemment simplifier l'exposant.
    Comme : $$\ds \frac{100 \pi }{3}=\frac{(96+4) \pi }{3}\equiv \frac{4 \pi }{3}\;[2\pi],$$ on a donc : \begin{align*} \left( \frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) ^{100} &=\exp \left( \frac{4 i \pi }{3}\right)\\\\ &= -\exp \left( \frac{i \pi }{3}\right)\\\\ &=-\frac12-i\frac{\sqrt3}{2}\cdot \end{align*}
    Remarque Le développement de la puissance $100$ avec la formule du binôme de Newton n'est évidemment pas envisageable ici !
  2. Applications à la trigonométrie
    
    Méthode Pour $n\in\N^*$, la formule de Moivre, sous la forme : $$ (\cos{\theta}+i\sin{\theta})^n= \cos n{\theta} +i\sin n{\theta},$$ permet d'exprimer $\cos n\theta \,$et $\sin n\theta $ en fonction de $\cos \theta \,$et $\sin \theta $.
    
    Exemple 9
    
    Développer $(\cos\theta+i\sin\theta)^5$ avec la formule du binôme de Newton.
    La formule du binôme de Newton nous donne : \begin{align*} \left( \cos \theta +i\sin \theta \right) ^{5} = \cos ^{5}\theta &+ 5\,i\,\cos ^{4}\theta \,\sin \theta -10\cos ^{3}\theta \,\sin^{2}\theta\\\\ & -10\,i\,\cos ^{2}\,\sin^{3}\theta +5\cos \theta \,\sin ^{4}\theta +i\,\sin ^{5}\theta. \end{align*}
    
    En déduire une expression de $\cos 5\theta$ en fonction de $\cos\theta $ et $\sin \theta.$
    En identifiant les parties réelles, on obtient : \begin{align*} \cos 5\theta & = \cos ^{5}\theta -10\cos ^{3}\theta \,\sin^{2}\theta +5\cos \theta \,\sin ^{4}\theta. \end{align*}
    
    Exprimer alors $\cos 5\theta $ en fonction de $\cos\theta $.
    En remplaçant $\sin ^{2}\theta $ par $1-\cos ^{2}\theta $ dans l'expression de $\cos 5\theta $, on obtient : \begin{align*} \cos 5\theta & = \cos ^{5}\theta -10\cos ^{3}\theta \,(1-\cos^{2}\theta) +5\cos \theta \,(1-\cos^{2}\theta)^2\\\\ &=16\,\cos ^{5}\theta -20\,\cos ^{3}\theta +5\,\cos \theta. \end{align*}
    
    Exprimer aussi $\sin 5\theta $ en fonction de $\sin\theta $.
    En identifiant les parties imaginaires de la première relation, on a : \begin{align*} \sin 5\theta & = 5\cos ^{4}\theta \,\sin \theta -10\cos ^{2}\,\sin^{3}\theta +\sin ^{5}\theta \end{align*} ce qui, en remplaçant $\cos^2\theta$ par $(1-\sin^2\theta)$, donne : \[ \sin 5\,\theta =16\,\sin ^{5}\theta -20\,\sin ^{3}\theta +5\,\sin \theta. \]
    
    Exemple 10
    
    Exprimer $\cos 6\theta $ en fonction de $\cos \theta $.
    La formule de Moivre nous donne : \begin{align*} \cos 6\,\theta &= \Re(\cos\theta+i\,\sin\theta)^6 \\ &= \cos^6\theta-15\,\cos^4\theta\,\sin^2\theta+15\,\cos^2\theta\,\sin^4\theta-\sin^6\theta \\\\ &=\cos^6\theta-15\,\cos^4\theta\,(1-\cos^2\theta) +15\,\cos^2\theta\, (1-\cos^2\theta)^2-(1-\cos^2\theta)^3\\\\ &=32\, \cos^6\theta-48\, \cos^4\theta+18\, \cos^2\theta-1. \end{align*}
    
    (plus difficile) Montrer par l'absurde qu'il n'existe pas de fonction : $$f : \mathopen{[}-1,1\mathclose{]} \to \R$$ telle que l'on ait : $\forall{\theta\in\R} \;\sin 6\theta = f(\sin \theta)$.
    Un essai de calcul qui n'aboutit pas n'est évidemment pas une preuve de non existence. Pour justifier le résultat demandé, il faut $\ldots$
    $\ldots$ faire un raisonnement par l'absurde.
    Supposons qu'il existe une fonction $f$ telle que $$\fa{\theta\in\R} \sin 6\theta =f(\sin\theta ).$$ On a alors : \begin{align*} f\big(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\big) & = f\big(\sin \big(\tfrac{\pi }{4}\big)\big) =\sin \big(\tfrac{3\,\pi }{2}\big)=-1 \\\\ f\big(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\big) &= f\big(\sin \big(\tfrac{3\,\pi }{4}\big)\big) =\sin \big(\tfrac{9\,\pi }{2}\big)=1 \end{align*} ce qui est impossible. Par suite, il n'existe pas de telle fonction.
    
    Exemple 11   Soit $\theta$ un réel de l'intervalle $\mathopen{[}-\frac{\pi}{10},\frac{\pi}{10}\mathclose{]}\cdot$
    
    Exprimer $\tan 5\theta =\frac{\sin 5\theta }{\cos 5\theta }$ en fonction de $\cos \theta $ et de $\sin \theta $.
    Partir de : \[ \tan 5\theta =\frac{\sin 5\theta }{\cos 5\theta } \] mais ne rien oublier !
    Comme : $$\theta \in\mathopen{\big[}-\frac{\pi}{10},\frac{\pi}{10}\mathclose{\big]},$$ on a : $$5\theta \in\mathopen{\big[}-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\mathclose{\big]} ;$$ ainsi $\tan \theta$ et $\tan 5\theta$ sont définis, et : \begin{align*} \tan 5\theta &=\frac{\sin 5\theta }{\cos 5\theta }\\\\ &=\frac{5\cos ^{4}\theta\,\sin \theta -10\cos ^{2}\,\sin ^{3}\theta +\sin ^{5}\theta } {\cos^{5}\theta -10\cos ^{3}\theta \,\sin ^{2}\theta +5\cos \theta \,\sin^{4}\theta } \cdot \end{align*}
    
    En déduire une expression de $\tan 5\theta $ en fonction de $\tan \theta $.
    Diviser numérateur et dénominateur par $\cos^{5}\theta $.
    En divisant numérateur et dénominateur par $\cos ^{5}\theta $, on obtient : \[ \tan 5\theta =\frac{5\tan \theta -10\tan ^{3}\theta +\tan ^{5}\theta } {1-10\tan ^{2}\theta +5\tan ^{4}\theta }\cdot \]
  3. Approfondissement
    
    Voici trois exercice hyper-classiques qu'il est bon d'avoir étudiés.
    
    Exemple 12   Soit $n\in\N$ et $\theta\in\R$.
    
    Avec la formule du binôme, développer $\left( \cos \theta +i\sin \theta \right) ^{n}$.
    En utilisant la formule de Moivre et la formule du binôme, on a : \begin{align*} \cos n\theta +i\sin n\theta &=\left( \cos \theta +i\sin \theta \right) ^{n}\\\\ &= \sum_{k=0}^{n}\,\binom{n}{k}\,\cos ^{n-k}\theta \,(i\sin \theta )^{k}. \end{align*}
    
    En déduire une expression de $\cos n\theta$ en fonction de $\cos\theta$ et de $\sin\theta$.
    Les termes réels de la somme : \[ \sum_{k=0}^{n}\,\binom{n}{k}\,\cos ^{n-k}\theta \,(i\sin \theta )^{k} \] correspondent aux valeurs paires de l'indice, de la forme $k=2p$, l'entier $p$ vérifiant : \[ 2p \leq n \et[soit] p\leq \frac{n}{2} \et[ou encore] p\leq \Big\lfloor\frac{n}{2}\Big\rfloor\cdot \] En identifiant les parties réelles de l'égalité : \[ \cos n\theta +i\sin n\theta = \sum_{k=0}^{n}\,\binom{n}{k}\,\cos ^{n-k}\theta \,(i\sin \theta )^{k}, \] on obtient : \[ \cos n\theta =\sum_{p=0}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}\left(-1\right)^{p} \binom{n}{2p}\cos ^{n-2p}\theta \,\sin ^{2p}\theta. \]
    
    Exprimer alors $\cos n\theta$ uniquement en fonction de $\cos\theta$.
    Comme l'expression de $\cos n\theta$ ci-dessus ne contient que des puissances paires de $\sin \theta $, on peut aussi obtenir $\cos n\theta $ comme un polynôme en $\cos \theta $ ; il suffit de remplacer $\sin ^{2}\theta $ par $1-\cos ^{2}\theta $, ce qui donne : \[ \cos n\theta =\sum_{p=0}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}\left(-1\right)^{p} \binom{n}{2p}(1-\cos^{2}\theta)^{p}\,\cos ^{n-2p}\theta. \]
    
    Exemple 13   Soit $n\in\N$ et $\theta\in\R$.
    
    Peut-on exprimer $\sin n\theta$ en fonction de $\cos\theta$ et de $\sin\theta$ ?
    Oui
    En repartant de : \begin{align*} \cos n\theta +i\sin n\theta &=\left( \cos \theta +i\sin \theta \right) ^{n}\\\\ &= \sum_{k=0}^{n}\,\binom{n}{k}\,\cos ^{n-k}\theta \,(i\sin \theta )^{k}. \end{align*} et en prenant les parties imaginaires, on obtient : \[ \sin n\theta =\sum_{p=0}^{\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor} \left( -1\right) ^{p}\binom{n}{2p+1}\,\cos ^{n-(2p+1)}\theta\, \,\sin ^{2p+1}\theta. \] Si nécessaire, explication pour la borne supérieure
    Les termes imaginaires de la somme correspondent aux valeurs impaires de l'indice $k$, de la forme $k=2p+1$ avec $p$ vérifiant : \[ 2p+1\leq n \et[ou encore ] p \leq \frac{n-1}{2}\cdot \] Comme $p$ est entier, cela équivaut à : \[ p\leq \Big\lfloor\frac{n-1}{2}\Big\rfloor\cdot \]
    
    Peut-on exprimer $\sin n\theta$ uniquement en fonction de $\sin\theta$ ?
    Pas toujours !
    
    On peut montrer que c'est impossible lorsque $n$ est pair.
    Démonstration analogue à celle faite pour $n=6$ dans la partie précédente.
    
    En revanche, c'est possible lorsque $n$ est impair.
    En effet, toutes les puissances de $\cos$ intervenant dans : \[ \sin n\theta =\sum_{p=0}^{\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor} \left( -1\right) ^{p}\binom{n}{2p+1}\,\cos ^{n-(2p+1)}\theta\, \,\sin ^{2p+1}\theta. \] sont alors paires, et il suffit de remplacer : $$\cos^{2}\theta \et[par] 1-\sin^{2}\theta.$$
    
    Exemple 14   Soit $n\in\N$ et $\theta\in\R$.
    Exprimer $\tan n\theta $ uniquement en fonction de $\tan \theta $.
    Généraliser la méthode utilisée pour $n=5$ dans la partie précédente.
    En utilisant les résultats des premières questions des deux exercices précédents : \begin{align} \cos n\theta &=\sum_{p=0}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor} \left( -1\right) ^{p}\binom{n}{2p}\,\cos ^{n-2p}\theta \,\,\sin^{2p}\theta \\\\ \sin n\theta &=\sum_{p=0}^{\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor} \left( -1\right) ^{p}\binom{n}{2p+1}\,\cos ^{n-(2p+1)}\theta\, \,\sin ^{2p+1}\theta , \end{align} pour $n\theta\not\equiv \frac\pi2 \;[\pi]$, on obtient : \begin{align*} \tan n\theta &= \frac{\sin n\theta }{\cos n\theta }\\\\ &= \frac{\sum_{p=0}^{\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor} \left(-1\right)^{p}\binom{n}{2p+1}\cos ^{n-(2p+1)}\theta \,\sin ^{2p+1}\theta } {\sum_{p=0}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}\left(-1\right)^{p} \binom{n}{2p}\cos ^{n-2p}\theta \,\sin ^{2p}\theta }\cdot \end{align*} Si, de plus, $\theta\not\equiv \frac\pi2 \;[\pi]$, en divisant numérateur et dénominateur par $\cos^n\theta$, on a : \[ \tan n\theta = \frac{\sum_{p=0}^{\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor} \left(-1\right)^{p}\binom{n}{2p+1}\,\tan^{2p+1}\theta } {\sum_{p=0}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}\left(-1\right)^{p} \binom{n}{2p} \,\tan^{2p}\theta }\cdot \]
7. Formules d'Euler
  1. Les formules
    
    Proposition 14 Pour $\theta \in \R$, on a : \[ \cos \theta =\frac{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2} \et \sin \theta =\frac{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}\cdot \]
    
    Méthode Ces « formules » sont évidentes par définition de $e^{i\theta }$, et il suffit de visualiser la relation : $$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta, $$ ainsi que celle obtenue en changeant $\theta$ en $-\theta$ pour les retrouver immédiatement. Inutile de les apprendre par coeur !
  2. Application à la trigonométrie, linéarisation
    
    La linéarisation, c'est quoi ?
    Étant donné deux entiers naturels $m$ et $n$, linéariser $\cos ^{m}{\theta} \sin ^{n}{\theta}$ c'est trouver une partie finie $K$ de $\N$, ainsi que des familles $(A_{k})_{k\in K}$ et $(B_{k})_{k\in K}$ telles que : \[ \fa{\theta\in\R} \cos ^{m}{\theta} \sin ^{n}{\theta}=\sum_{k\in K}\, (A_k\,\cos k\theta+B_k\,\sin k\,\theta). \] On dit alors que l'on a exprimé la fonction : $$\theta\mapsto\cos ^{m}{\theta} \sin ^{n}{\theta}$$ comme une combinaison linéaire des fonctions : $$\theta\mapsto\cos k{\theta} \et \theta\mapsto\sin k{\theta}.$$
    
    Pour linéariser, Moivre ou Euler ?
    
    La formule de Moivre permet par exemple d'exprimer $\cos n\theta$ en fonction de puissances de $\cos\theta$ et de $\sin\theta$. C'est tout le contraire de la linéarisation !
    
    Ce sont les formules d'Euler qui permettent de linéariser les expressions trigonométriques.
    
    Méthode L'opération de linéarisation peut être très utile pour trouver une primitive ou des dérivées successives.
    
    Exemple 15
    
    Développer $\sin ^{6}\theta =\left( \frac{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}\right) ^{6}$ avec la formule du binôme.
    En utilisant les formules d'Euler, on obtient : \begin{align*} \sin ^{6}\theta & = \left( \frac{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}\right) ^{6}\\\\ & = -\frac{1}{64}\Big( e^{6i\theta}-6\,e^{4i\theta }+15\,e^{2i\theta }-20\\ &\hskip15ex +15\,e^{-2i\theta }-6\,e^{-4i\theta}+e^{-6i\theta }\Big) . \end{align*}
    
    En déduire une expression de $\sin ^{6}\theta $ en fonction de $\cos 6\theta$, $\cos 4\theta $ et $\cos 2\theta $.
    En regroupant les termes en $e^{ik\theta }$ et en $e^{-ik\theta }$, on obtient : \begin{align*} \sin ^{6}\theta = -\frac{1}{64}\Big( e^{6i\theta } +&e^{-6i\theta}-6\,(e^{4i\theta }+e^{-4i\theta })\\ & +15\,(\,e^{2i\theta } +e^{-2i\theta})-20\Big) \end{align*} et donc : \[ \sin ^{6}\theta =-\frac{1}{32}\, \big( \cos 6\theta -6\cos 4\theta +15\cos 2\theta -10\big) . \]
    
    Exemple 16   Linéariser de même $\cos ^{5}\theta$.
    La formule du binôme nous donne : \begin{align*} \cos ^{5}\theta &=\frac{(e^{i\theta}+e^{-i\theta})^5}{2^5} \\\\ &= \frac{1}{2^5} \Big( e^{5i\theta}+5\,e^{3i\theta}+10\,e^{i\theta} +10\,e^{-i\theta}+5\,e^{-3i\theta}+e^{-5i\theta}\Big). \end{align*} En regroupant les termes symétriques, on obtient : \[ \cos ^{5}\theta = \frac{1}{16}\,\big(\cos 5\theta + 5\,\cos 3\theta+10 \cos \theta\big). \]
    
    Exemple 17   Donner deux méthodes pour linéariser $\cos^{4}\theta $.
    On peut utiliser :
    
    soit la méthode précédente, en développant $\frac{(e^{i\theta}+e^{-i\theta})^4}{2^4}$,
    Pour tout $\theta\in_R$, on a : \begin{align*} \cos^{4}\theta &=\frac{(e^{i\theta}+e^{-i\theta})^4}{2^4}\\\\ &=\frac{1}{2^{3}} \frac{e^{4i\theta}+4\,e^{2i\theta}+6+4\,e^{-2i\theta}+e^{-4i\theta}}{2}\cdot \end{align*} En regroupant les termes équidistants des extrêmes, on obtient : \[ \cos^{4}\theta =\frac{1}{8} \big(\cos 4\theta + 4\,\cos 2\theta+3\big). \]
    
    soit l'égalité $\cos ^{4}\theta =(\cos ^{2}\theta )^{2}$; ce qui est plus élémentaire.
    Évidemment, il est alors nécessaire de connaître la formule : \[ \cos^2\theta = \frac{1+\cos2\theta}{2}\cdot \] Solution
    Comme $\cos^2\theta = \frac{1+\cos2\theta}{2}$, on a : \begin{align*} \cos ^{4}\theta &= \left(\frac{1+\cos2\theta}{2}\right)^{2}\\\\ &= \frac{1}{4}\big(1+2\,\cos 2\theta+\cos^2 2\theta\big). \end{align*} En utilisant $\cos^2 2\theta = \frac{1+\cos4\theta}{2}$, on obtient : \[ \cos ^{4}\theta = \frac{1}{8}\,\cos 4\,\theta +\frac{1}{2}\,\cos 2\theta +\frac{3}{8}\cdot \]
  3. Factorisation de $ e^{i\theta_1}\pm e^{i\theta_2}$
    
    Méthode En utilisant les formules d'Euler, on peut factoriser une expression de la forme $e^{i\theta_1}\pm e^{i\theta_2}$ en mettant en facteur $e^{i\left( \frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2}\right) }$.
    L'intérêt est que le second facteur est alors :
    
    un réel dans le cas $e^{i\theta_1}+ e^{i\theta_2}$ ;
    \begin{align*} e^{i\theta_1}+ e^{i\theta_2} &= e^{i\big(\frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2}\big)}\, \Big(e^{i\big(\frac{\theta_{1}-\theta_{2}}{2}\big)} + e^{i\big(\frac{\theta_{2}-\theta_{1}}{2}\big)}\Big)\\\\ &= 2\,e^{i\big(\frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2}\big)}\, \cos\Big(\frac{\theta_{1}-\theta_{2}}{2}\Big)\cdot \end{align*}
    
    un imaginaire pur dans le cas $e^{i\theta_1}- e^{i\theta_2}$.
    \begin{align*} e^{i\theta_1}- e^{i\theta_2} &= e^{i\big(\frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2}\big)}\, \Big(e^{i\big(\frac{\theta_{1}-\theta_{2}}{2}\big)} - e^{i\big(\frac{\theta_{2}-\theta_{1}}{2}\big)}\Big)\\\\ &= 2\,i\,e^{i\big(\frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2}\big)}\, \sin\Big(\frac{\theta_{1}-\theta_{2}}{2}\Big)\cdot \end{align*}
    
    Cela peut-être utile :
    
    pour simplifier des puissances ;
    
    pour mettre facilement en évidence le module et un argument de $z$ ;
    
    pour factoriser des expressions de la forme $\cos p \pm \cos q$ et $\sin p \pm \sin q$ en les considérant comme $\ldots$
    $\ldots$ les parties réelles ou imaginaires de $e^{ip}\pm e^{iq}$.
    
    Exemple 18   Soit $\theta \in \mathopen{[}0,\pi\mathclose{]}$ et $z=1+e^{2i \theta }$.
    
    Donner le module et un argument de $z$.
    Mettre $e^{i\theta}$ en facteur, mais ensuite attention $\ldots$
    $\ldots$ car un module doit être positif !
    
    Solution
    On a : \begin{align*} z &=1+e^{2i \theta }=e^{i \theta }\left( e^{-i \theta }+e^{i \theta}\right)\\\\ &=2\cos \theta \,e^{i \theta} \end{align*}
    
    Si $\theta\in\mathopen{[}0,\frac\pi2\mathclose{[}$, alors $\cos \theta >0$, et donc : \[ \left| z\right|=2\cos \theta \] et l'on peut prendre $\theta$ comme argument de $z$.
    
    Si $\theta\in\mathopen{]}\frac\pi2,\pi\mathclose{]}$, alors $\cos \theta <0$, et donc : \[ \left| z\right|=-2\cos \theta. \] Comme argument de $z$, on peut alors prendre :
    \[ \theta+\pi, \] puisque : \[ z = (-2\cos \theta)\, e^{i(\theta+\pi)} \] car : \[ -1 = e^{i\pi}. \]
    
    Si $\theta = \frac\pi2$, alors $z=0$, et donc : \[ \left| z\right|= 0, \] mais il n'a pas d'argument.
    
    Comparer avec une autre méthode.
    En utilisant la trigonométrie élémentaire on peut écrire : \begin{align*} z &=1+\cos 2\theta +i\,\sin 2\theta \\\\ &=2\cos ^{2}\,\theta +2i\,\sin \theta \,\cos \theta \\\\ &= 2\cos \theta \, (\cos \theta +i\,\sin {\theta }) \end{align*} et l'on termine ensuite comme dans la question précédente.
    
    Exemple 19   Pour $n\in \Z$ et $\theta \in \R$, simplifier $\Re\big(1+\cos \theta +i\,\sin \theta \big) ^{n}$.
    Utiliser une écriture à l'aide de l'exponentielle complexe :
    \[ 1+\cos \theta +i\,\sin \theta = 1 + e^{i\theta} \]
    
    puis appliquer la méthode précédente en mettant en facteur :
    \[ e^{\frac{i\, \theta}{2}}. \]
    
    Solution
    Pour $n\in \Z$ et $\theta \in \R$, posons : \[ z = \big(1+\cos \theta +i\,\sin \theta \big) ^{n}. \] Comme : \begin{align*} z &=\big( 1+ e^{i\theta}\big)^{n}\\\\ &=\Big(e^{i\theta}\big(e^{-i\theta}+e^{i\theta}\big)\Big)^{n}\\\\ &=e^{i \frac{n\theta}{2}}\,2^{n}\cos ^{n}(\tfrac{\theta }{2}), \end{align*} on a directement : \[ \Re z=2^{n}\cos ^{n}(\tfrac{\theta }{2})\cos (\tfrac{n\theta }{2})\cdot \]
    Ne faudrait-il pas discuter du signe de $\cos(\tfrac{\theta }{2})$ ?
    Absolument pas ! Il n'y a aucune raison que $2^{n}\cos ^{n}(\tfrac{\theta }{2})$ soit le module de $z$, mais cela n'enlève rien à la validité du calcul précédent, qui ne parle ni de module, ni d'argument.
    
    Exemple 20   Soit $p\in\R$ et $q\in\R$.
    
    Vérifier que l'on a : \[ \cos p + \cos q = 2 \cos \Big(\frac{p+q}{2}\Big) \cos \Big(\frac{p-q}{2}\Big) \] en utilisant :
    \[ \cos p + \cos q = \Re\big(e^{ip}+e^{iq}\big). \] Solution
    En mettant en facteur $e^{i\frac{p+q}{2}}$, on obtient : \begin{align*} e^{ip}+e^{iq} &= e^{i\frac{p+q}{2}}\Big(e^{i\frac{p-q}{2}}+e^{i\frac{-p+q}{2}} \Big)\\\\ &= 2 \, e^{i\frac{p+q}{2}}\, \cos \big(\tfrac{p-q}{2}\big)\cdot \end{align*} En prenant la partie réelle, on en déduit : \[ \cos p + \cos q = 2\, \cos \big(\tfrac{p+q}{2}\big) \cos \big(\tfrac{p-q}{2}\big)\cdot \]
    
    Montrer de même que : \[ \cos p - \cos q = - 2 \sin \Big(\frac{p-q}{2}\Big) \sin \Big(\frac{p+q}{2}\Big) \] en utilisant :
    \[ \cos p - \cos q = \Re\big(e^{ip}-e^{iq}\big). \] Solution
    En mettant en facteur $e^{i\frac{p+q}{2}}$, on obtient : \begin{align*} e^{ip}-e^{iq} & = e^{i\frac{p+q}{2}}\Big(e^{i\frac{p-q}{2}}-e^{i\frac{-p+q}{2}} \Big) & = 2 \, i \, e^{i\frac{p+q}{2}}\, \sin \big(\tfrac{p-q}{2}\big)\cdot \end{align*} En prenant la partie réelle, on en déduit : \[ \cos p - \cos q = - 2 \,\sin \big(\tfrac{p-q}{2}\big)\, \sin \big(\tfrac{p+q}{2}\big) \cdot \]
    
    Factoriser de même $\sin p - \sin q$ ainsi que $\sin p + \sin q$.
    En prenant la partie imaginaire de : \begin{align*} e^{ip}+e^{iq} &= e^{i\frac{p+q}{2}}\Big(e^{i\frac{p-q}{2}}+e^{i\frac{-p+q}{2}} \Big)\\\\ &= 2 \, e^{i\frac{p+q}{2}}\, \cos \big(\tfrac{p-q}{2}\big), \end{align*} on obtient : \[ \sin p + \sin q = 2\, \sin \big(\tfrac{p+q}{2}\big) \,\cos \big(\tfrac{p-q}{2}\big). \] Il suffit alors de changer $q$ en $-q$, pour obtenir : \[ \sin p - \sin q = 2\, \sin \big(\tfrac{p-q}{2}\big)\,\cos \big(\tfrac{p+q}{2}\big) \cdot \]
    
    Pour finir un grand classique.
    
    Exemple 21   Pour $n\in\N$ et $\theta \in \mathopen{] 0,2\pi}\mathclose{[}$, on pose $S_{n}=\sum\limits_{k=0}^{n}\,\cos k\,\theta$.
    
    Montrer que l'on a $\ds S_n=\frac{\cos n\frac{\theta }{2}\,\sin \frac{(n+1)\theta }{2}}{\sin \frac{\theta }{2}}\cdot$
    Commencer en utilisant : \[ \Sigma_n = \sum_{k=0}^{n}\,e^{i k \theta}. \] Ensuite, pour obtenir la partie réelle, $\ldots$
    $\ldots$ ne surtout pas pas multiplier par le conjugué du dénominateur, mais mettre une bonne exponentielle en facteur « en haut et en bas ».
    
    Solution
    Considérons : \[ \Sigma_n = \sum_{k=0}^{n}\,e^{i k \theta}. \] C'est la somme des $n+1$ premiers termes de la suite géométrique de premier terme $1$, et de raison $e^{i\theta }\neq 1$ puisque $\theta \in \mathopen{] 0,2\pi}\mathclose{[}$. On a donc : \[ \Sigma_n = \frac{1-e^{i(n+1)\theta }}{1-e^{i\theta }}\cdot \] En factorisant numérateur et dénominateur, on obtient : \begin{align*} \Sigma_n & = \frac{e^{i(n+1)\frac{\theta }{2}}}{e^{i\frac{\theta }{2}}} \; \frac{e^{-i(n+1)\frac{\theta }{2}}-e^{i(n+1)\frac{\theta }{2}}} {e^{-i\frac{\theta }{2}}-e^{i\frac{\theta }{2}}}\\\\ &=e^{in\frac{\theta }{2}} \, \dfrac{\sin \frac{(n+1)\theta }{2}}{\sin \frac{\theta }{2}}\cdot \end{align*} (si nécessaire voir calcul détaillé
    \begin{align*} \Sigma_n & = \frac{e^{i(n+1)\frac{\theta }{2}}}{e^{i\frac{\theta }{2}}} \; \frac{e^{-i(n+1)\frac{\theta }{2}}-e^{i(n+1)\frac{\theta }{2}}} {e^{-i\frac{\theta }{2}}-e^{i\frac{\theta }{2}}}\\\\ & = e^{in\frac{\theta }{2}}\, \dfrac{-2i\sin \frac{(n+1)\theta }{2}} {-2i\sin \frac{\theta }{2}} \\\\ &=e^{in\frac{\theta }{2}} \, \dfrac{\sin \frac{(n+1)\theta }{2}}{\sin \frac{\theta }{2}}\cdot \end{align*} La ligne centrale a ici été ajoutée pour explication, mais il n'est pas utile qu'elle figure dans une rédaction.
    
    Il est même souhaitable qu'elle disparaisse rapidement de votre brouillon : avec un peu d'habitude en calcul mental, il est immédiat que les deux « $-2i$ » apparaissant au numérateur et au dénominateur vont se simplifier, et il est donc inutile de les écrire.
    )
    On en déduit immédiatement : \[ S_n= \Re \Sigma_n = \frac{\cos n\frac{\theta }{2}\,\sin \frac{(n+1)\theta }{2}}{\sin \frac{ \theta }{2}}\cdot \]
    
    Pourquoi a-t-on supposé $\theta \neq 0$ et $\theta \neq 2\pi $ ?
    Pour $\theta=0$ ou $\theta=2\pi$, on ne peut pas utiliser la même formule pour simplifier $\Sigma_n$ puisque $e^{i\theta }=1$. Que vaut alors $S_n$.
    $S_n$ est alors la somme de $n+1$ quantités égales à $1$, ce qui donne directement : $$S_n=n+1.$$
8. Exponentielle complexe
  Dans cette partie, on suppose connues les propriétés de la fonction exponentielle réelle étudiée en Terminale.
  1. Définition de $ e^{z}$
    
    Définition Pour tout $z\in\C$, on appelle $e^z$, ou encore $\exp z$, lire « exponentielle de $z$ », le nombre complexe $$ e^{z}=e^{\Re z}\,e^{i \Im z}. $$
    
    Que doit-on alors vérifier en termes de compatibilité ?
    La fonction $z\mapsto e^z$, ainsi définie de $\C$ dans $\C$ :
    
    prolonge la fonction exponentielle définie sur $\R$, puisque, si $z\in\R$, alors on a $\Im z=0$ et donc $e^{i\Im z}=1$,
    
    est compatible avec la notation $e^{i\theta}$ puisque, si $z=i\theta$ avec $\theta\in\R$ alors, on a $\Re z=0$ et donc $e^{\Re z}=1$.
    
    Remarque En seconde année, vous définirez directement $e^{z}$ par : \[ e^{z} = \lim\limits\limits_{n\to\infty} \sum_{k=0}^{n}\frac{z^{k}}{k!} \] sans la moindre référence aux fonctions trigonométriques sinus et cosinus. Et c'est ce qui permettra de vous définir enfin correctement les fonctions trigonométriques. Mais ceci est une autre histoire !
    
    Module et argument de $e^z$ ?
    Pour tout $z\in\C$, on a : $$|e^z|=e^{\Re z}\in\R_+^*$$ et donc : $$e^z\in\C^*.$$ Il est alors immédiat que le nombre réel $\Im z$ est un argument de $e^z$.
  2. Règles de calcul
    
    Proposition 15
    
    Si $z$ et $z'$ sont deux complexes, alors on a :$$e^{z+z^{\prime}}=e^{z}\,e^{z'}.$$
    
    Pour tout $z\in\C$, on a $e^z\neq0$ et : $$(e^z)^{-1}=e^{-z}.$$
    
    Pour $z\in\C$ et $n\in\Z$, on a : $$(e^z)^{n}=e^{n z}.$$
    Justification
    Faire le calcul avec les parties réelles et imaginaires de $z$ et $z'$.
    
    Attention Ne pas dire que $e^z$ est non nul car $e^z>0$ !
    
    En effet, cela 'a aucun sens puisque $\ldots$
    $\ldots$ l'on n'utilise pas d'inégalité sur $\C$.
    
    Mais alors, pourquoi est-il non nul ?
    Parce que son module : \[ \big| e^{z} \big| = e^{\,\Re z} \] est non nul puisque, $\Re z$ étant réel, on a : \[ e^{\,\Re z} > 0. \] C'est une propriété de la fonction exponentielle vue en terminale.
Résolution d'équations
1. Équations du second degré
  1. Racines carrées d'un complexe
    
    Définition On appelle racine carrée d'un complexe $z$ tout complexe $Z$ tel que $Z^2=z$.
    
    Au fait, quelle est la définition de la racine d'un réel ?
    La racine carrée d'un réel $a$ n'est définie que pour $a\in\R^{+}$.
    
    On sait que pour tout réel $a$ strictement positif, l'équation $x^{2}=a$ possède deux racines opposées.
    
    Si $a=0$, elle ne possède qu'une seule racine, qui est $0$.
    
    Ainsi, pour $a\in\R^{+}$, on désigne par $\sqrt{a}$ le réel positif dont le carré vaut $a$.
    
    Proposition 16 Tout complexe non nul admet exactement deux racines carrées opposées.
    Justification
    Utiliser les formes trigonométriques, aussi bien pour le complexe donné que pour les racines cherchées.
    
    Exemple 22 Déterminer les racines d'un réel $a\in\R^{*}_{-}$.
    Soit $a\in\R^{*}_{-}$.
    
    C'est donc un complexe de module $-a$ et d'argument $\pi$ ; par suite, ses deux racines carrées sont : $$\pm \sqrt{-a}\, \exp\Big(i\,\frac\pi2\Big) = \pm i\,\sqrt{-a}.$$
    
    On peut aussi trouver directement ces deux racines carrées en factorisant $Z^2-a$ :
    \begin{align*} Z^2-a & = Z^2-i^2|a|\\\\ &= \Big(Z-i\,\sqrt{|a|}\Big)\Big(Z+i\,\sqrt{|a|}\Big). \end{align*}
    
    Attention On ne sait pas, dans $\C$, privilégier l'une des deux racines d'un complexe $z$, contrairement à ce qui se passe lorsque $z\in\R_+$ (
    lorsque $z\in\R_+$, on choisit, parmi les deux racines carrées de $z$, celle qui est positive, et on la note alors $\sqrt z$
    ).
    Par suite :
    
    il est impossible d'utiliser la notation $\sqrt{z}$ pour un complexe $z$ quelconque ;
    
    il faut donc parler d'une (article indéfini) racine carrée de $z$, et non pas de la (article défini) racine carrée de $z$.
    
    Méthode L'utilisation de formes trigonométriques donne facilement les expressions des racines carrées d'un nombre complexe, mais il est possible de les exprimer sous forme algébrique, (i.e. $\ldots$
    $\dots$ sans la moindre fonction trigonométrique, mais en n'utilisant que les quatre opérations et des racines carrées.
    ). Pour cela, $\ldots$
    $\ldots$ aux égalité des parties réelles et imaginaires, ajouter l'égalité des modules.
    On sait comment faire (voir ci-dessus) pour un réel positif ou négatif. Supposons donc $z\not\in\R$ et prenons : $$z=x+iy \avec x\in\R \text{ et }y\in\R^*.$$ Soit $Z=X+i\,Y$ avec $(X,Y)\in \R^{2}$ tel que $Z^2=z$.
    
    On en déduit :
    
    par égalité des parties réelles : \[ X^{2}-Y^{2}=x\, ;\tag{$i$} \]
    
    par égalité des parties imaginaires : \[ 2\,X\,Y=y. \tag{$ii$} \]
    
    par égalité des modules : \[ X^{2}+Y^{2}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\, ;\tag{$iii$} \]
    Par somme et différence de $(i)$ et $(iii)$, on obtient $X^{2}$ et $Y^{2}$, et donc $X$ et $Y$ au signe près, soit quatre possibilités puisque $X\neq0$ et $Y\neq0$ d'après $(ii)$ et l'hypothèse $y\neq0$.
    
    D'après $(ii)$ le produit $X\,Y$ est du signe de $y$, et il existe donc seulement deux couples $(X,Y)$ vérifiant ces trois conditions, couples que l'on peut alors exprimer algébriquement en fonction de $x$ et de $y$.
    
    Bien que n'utilisant que des conditions nécessaires (implications), le raisonnement précédent donne toutes les racines de $z$ puisqu'il en donne au plus deux et que l'on sait qu'il en existe exactement deux.
    
    Exemple 23
    
    Forme algébrique des racines carrées de $z=1+i$.
    Des expressions algébriques des ces racines doivent n'utiliser que les quatre opérations et des racines carrées (en particulier aucune fonction trigonométrique).
    D'après la méthode précédente, si $(X+iY) ^{2}=1+i$, alors :
    
    par égalité des parties réelles : \[ X^{2}-Y^{2}=1, ;\tag{$i$} \]
    
    par égalité des parties imaginaires : \[ 2\,X\,Y=1, \tag{$ii$} \]
    
    par égalité des modules : \[ X^{2}+Y^{2}=\sqrt{2}.\tag{$iii$} \]
    Par somme et différence de $(i)$ et $(iii)$, on obtient : \[ X^{2}=\frac{1+\sqrt{2}}{2} \et Y^{2}=\frac{-1+\sqrt{2}}{2} \] et donc : \[ X = \pm \sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}} \et Y = \pm \sqrt{\frac{-1+\sqrt{2}}{2}}\cdot \] Comme $2\,X\,Y = 1$, les réels $X$ et $Y$ sont de même signe, et les racines carrées de$\,1+i$ sont : \[ Z_{1}=\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}+i\sqrt{\frac{-1+\sqrt{2}}{2}} \] et : \[ Z_{2} = -Z_1 = -\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}-i\sqrt{\frac{-1+\sqrt{2}}{2}}\cdot \]
    
    Les donner sous forme trigonométrique et en déduire des expressions algébriques de $\cos \frac{\pi }{8}$ et $\sin \frac{\pi }{8}$.
    Comme : $$1+i=\sqrt{2\,}e^{i\frac{\pi }{4}}, $$ les racines carrées $Z_1$ et $Z_2$ précédentes s'écrivent aussi : $$\pm\, 2^{1/4}\,e^{i\frac{\pi }{8}}.$$ Puisque $\cos \frac{\pi }{8} >0$, on a $Z_{1}= 2^{1/4}\,e^{i\frac{\pi }{8}}$, et donc : \[ \cos \frac{\pi }{8}=\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2\sqrt2}}= \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}2 \] ainsi que : \[ \sin \frac{\pi }{8}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\cdot \]
  2. Résolution de l'équation du second degré
    
    Définition Soit $a\in\C^*$, $b\in\C$ et $c\in\C$. Mettre le trinôme $a\,z^{2}+b\,z+c$ sous forme canonique, c'est $\ldots$
    $\ldots$ déterminer deux complexes $\alpha$ et $\beta$ tels que : \[ \fa{z\in\C} a\,z^{2}+b\,z+c = a\,\big((z+\alpha)^2+\beta\big). \]
    
    Proposition 17 Soit $a\in\C^*$, $b\in\C$ et $c\in\C$ ainsi que l'équation : \begin{equation} a\,z^{2}+b\,z+c=0. \tag{$E$} \end{equation} On note $\Delta =b^{2}-4\,a\,c$ son discriminant.
    
    Si $\Delta \neq 0$, alors en appelant $\delta $ une racine carrée de $\Delta$, l'équation $(E)$ admet deux racines distinctes : $$z_{1}=\frac{-b+\delta }{2a} \et z_{2}=\frac{-b-\delta }{2a}\cdot $$
    
    Si $\Delta =0$, alors l'équation $(E)$ admet une racine (double) : $$z_{0}=-\frac{b}{2a}\,\cdot $$
    Justification
    Mettre le trinôme sous forme canonique en utilisant :
    \begin{align*} a\,z^{2}+b\,z+c &=a\left(z^{2}+\frac{b}{a}\,z+\frac{c}{a}\right)\\\\ &= a\left(\left(z+\frac{b}{2a}\right)^2 - \cdots\right) \end{align*} Puis factoriser la différence des deux carrés.
    
    Exemple 24 Résoudre l'équation : $x^{2}-(3+4\,i)\,x-1+5\,i=0$.
    Le discriminant de l'équation est : \begin{align*} \Delta &=(3+4\,i)^{2}-4\,\left( -1+5\,i\right)\\\\ &=-3+4\,i . \end{align*} La recherche des racines $u+i\,v$ de $\Delta $ mène à : \[ u^{2}-v^{2}=-3, \quad u^{2}+v^{2}=5 \et 2\,u\,v=4. \] Explications supplémentaires si nécessaire
    Le nombre complexe $u+i\,v$ vérifie : \[ (u+i\,v)^2 = -3+4\,i \] si, et seulement si (par égalité des parties réelles et imaginaires) : \[ (i)\quad u^{2} - v^{2} = -3 \et (ii) \quad 2\,u\,v = 4. \] En ajoutant l'égalité des modules, on a une nouvelle relation : \[ (iii)\quad u^{2} + v^{2} = \sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5. \] En faisant somme et différence de $(i)$ et $(ii)$, on obtient : \[ u^{2} = 4 \et v^{2} = 1 \] et donc : \[ u = \pm 2 \et v=\pm 1. \] La relation $(ii)$ donne $u\,v >0$ et impose : \[ (u=2 \text{ et } v=1) \ou (u=-2 \text{ et } v=-1). \] On peut donc prendre comme racine de $\Delta$ : \[ u + i\, v = 2+i. \] Revoir éventuellement cette méthode dans la section précédente.
    
    Par addition et soustraction, on en déduit $u^{2}=1$ et $v^{2}=4$, et donc : \[ u=\pm 1 \et v=\pm 2. \] Le signe de $u\,v$ entraîne que les deux racines de $\Delta $ sont : $$\pm \left( 1+2i\right) .$$ Par suite, les racines de l'équation donnée sont : $$\frac{(3+4\,i)\pm \left( 1+2i\right) }{2}$$ c'est-à-dire : \[ 2+3\,i \et 1+i . \]
    
    Proposition 18 Soit $a\in\R^{*}$, $b\in\R$ et $c\in\R$, ainsi que l'équation : \begin{equation} a\,z^{2}+b\,z+c=0. \tag{$E$} \end{equation} On note $\Delta =b^{2}-4\,a\,c$ son discriminant (réel).
    
    Si $\Delta >0$, alors $(E)$ a deux racines réelles distinctes : \[ z_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}\et z_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\cdot \]
    
    Si $\Delta =0$, alors $(E)$ a une racine (double) réelle : $\ds z_{0}=-\frac{b}{2a}\cdot$
    
    Si $\Delta <0$, alors $(E)$ a deux racines complexes distinctes conjuguées : \[ z_{1}=\frac{-b+i\sqrt{-\Delta }}{2a}\et z_{2}=\overline{z_{1}} . \]
    Justification
    Cas particulier de la proposition précédente.
    
    Exemple 25 Pour $\theta\in\R $, résoudre l'équation : $z^{2}-2z\cos \theta +1=0$.
    Le discriminant de cette équation est : $$\Delta =-4\sin ^{2}\theta .$$
    
    Si $\theta \equiv 0\;[\pi]$, alors $\Delta =0$ et l'équation admet une racine double :
    
    si $\theta\equiv0\;[2\pi]$, alors il s'agit de $z_0=1$ ;
    
    si $\theta\equiv\pi\;[2\pi]$, alors il s'agit de $z_0=-1$.
    
    Si $\theta \not\equiv 0\;[\pi]$, alors $\Delta <0$ et l'équation admet deux racines distinctes : \[ z_{1}=\cos \theta +i\left| \sin \theta \right| \Et z_{2}=\cos\theta -i\left| \sin \theta \right|. \] En fait, dans ce cas, l'ensemble des racines de l'équation peut aussi s'écrire : \[ \left\{ \cos \theta +i\sin \theta ,\cos \theta -i\sin \theta \right\} =\{e^{i \theta }\,,\,e^{-i \theta }\} \] ce qui évite l'utilisation d'une valeur absolue.
    
    Dans le cas général ($\Delta < 0$, la méthode générale pour les équations à coefficients complexes est plus efficace et permet d'éviter l'utilisation de la valeur absolue. En effet on peut directement exhiber : $$\delta=2\,i\,\sin\theta$$ qui est une racine de $\Delta$ et dire que les racines sont : \[ \cos \theta \pm i\sin \theta \et[ou encore] e^{\pm i \theta }. \]
    
    Remarque Comme on l'a vu dans l'exemple précédent, pour une équation à coefficients réels, il est parfois plus efficace d'utiliser la formule vue pour une équation à coefficients complexes c'est-à-dire d'utiliser une racine $\delta $ de $\Delta $ plutôt que d'utiliser $\sqrt{\Delta }$, ce dernier pouvant mener à l'introduction de valeurs absolues lorsque l'équation dépend de paramètres !
  3. Relations entre coefficients et racines
    
    Proposition 19 Soit $a$, $b$ et $c$ trois complexes, avec $a\neq 0$.
    Les nombres complexes $z_{1}$ et $z_{2}$ (éventuellement égaux) vérifient : \[ z_{1}+z_{2}=-\frac{b}{a}\Et z_{1}\,z_{2}=\frac{c}{a} \] si, et seulement si, $z_{1}$ et $z_{2}$ sont les deux racines (éventuellement confondues) de l'équation : $a\,z^{2}+b\,z+c=0$.
    Justification
    
    Si l'on sait que $z_{1}$ et $z_{2}$ sont les racines, alors les formules donnant les racines permettent de conclure.
    
    Pour la réciproque, développer le produit : $$a\,(z-z_{1})\,(z-z_{2}).$$
    
    Méthode On utilise la proposition précédente sous plusieurs formes.
    
    Si l'on sait que $z_1$ et $z_2$ sont les racines de l'équation $a\,z^{2}+b\,z+c=0$, alors on peut simplifier toute expression symétrique en $z_1$ et $z_2$, l'évaluer en fonction de $z_1+z_2$ et $z_1\,z_2$, et donc de $a$, $b$ et $c$, sans avoir à expliciter $z_1$ et $z_2$.
    
    Si $z_1$ et $z_2$ sont les racines de l'équation $a\,z^{2}+b\,z+c=0$, et si l'on connaît une de ces racines, alors on peut facilement en déduire l'autre.
    
    Si l'on connaît deux complexes $s$ et $p$, et si l'on cherche $z_1$ et $z_2$ tels que $z_1+z_2=s$ et $z_1\,z_2=p$, alors une façon élégante et efficace de faire est de dire que $z_1$ et $z_2$ sont les racines de l'équation :
    \[ z^{2}- s\,z+p=0. \]
    
    Exemple 26   Soit $z_{1}$ et $z_{2}$ les deux racines de l'équation : $$z^{2}-z+4=0.$$ Simplifier $A = z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-z_{1}\,z_{2}$.
    Inutile de calculer les racines. Exprimer : $$z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-z_{1}\,z_{2}$$ en fonction de $z_1+z_2$ et de $z_1\,z_2$.
    On a : \begin{align*} A &=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-z_{1}z_{2}\\\\ &=(z_{1}+z_{2})^{2}-3\,z_{1}z_{2}\\\\ &=1^2-3\times 4\\\\ &=-11. \end{align*} On peut rédiger autrement le calcul en utilisant que $z_1$ et $z_2$ sont racines de l'équation donnée, et vérifient donc :
    \[ z_{k}^{2}=z_{k}-4. \] Alors :
    \begin{align*} A &=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-z_{1}z_{2}\\\\ &=\big(z_{1}+z_{2} -8\big)-3\,z_{1}z_{2}\\\\ &=\big(1-8)- 4\\\\ &=-11. \end{align*} Cette technique peut être intéressante avec des puissances plus élevées.
    
    Exemple 27   Dire pourquoi les racines de l'équation : $$z^{2}-2\,z\,\cos \theta +1=0$$ peuvent maintenant être qualifiées de racines évidentes.
    Les racines de l'équation $z^{2}-2\,z\,\cos \theta +1$ sont les deux nombres complexes dont la somme est $2\cos \theta $ et le produit $1$.
    D'après une formule d'Euler, on sait que ce sont $e^{i\theta }$ et $e^{-i\theta }$.
    
    Exemple 28   Résoudre l'équation : $$ z^2-(1+a+a^2)\,z+a\,(1+a^2)=0,$$ où $a$ est un complexe donné.
    En utilisant somme et produit, on « voit » que les deux racines de : \[ z^2-(1+a+a^2)\,z+a\,(1+a^2)=0 \] sont $a$ et $1+a^2$. Que de calculs évités !
2. Racines $ n^{\text{es}}$ d'un nombre complexe
  Dans toute cette partie, $n$ désigne un entier naturel non nul.
  1. Défintion
    
    Définition
    
    Si $z\in\C$, on appelle racine $n$^e de $z$ tout $Z\in\C$ tel que $Z^{n}=z$.
    
    Les racines $n$^es de $1$ sont encore appelées racines $n$^es de l'unité.
  2. Racines $ n^{\text{es}}$ de l'unité
    
    Notation L'ensemble des racines $n$^es de l'unité est noté $\U_{n}$.
    
    Exemple 29
    
    Vérifier que $\U_{n}$ est non vide.
    Parmi les racines $n$^es de l'unité, il y a évidemment $1$.
    
    Que dire du module d'un élément de $\U_{n}$ ?
    Comme : $$\left|z^n\right|=|z|^n,$$ les racines de l'équation $z^n=1$ sont de module $1$.
    
    Montrer que le produit de deux éléments de $\U_n$ est élément de $\U_n$.
    Si $z_{1}$ et $z_{2}$ sont deux éléments de $\U_{n}$, alors : $$(z_{1}\,z_{2})^{n}=z_{1}^{n}\,z_{2}^{n}=1,$$ et donc $z_{1}z_{2}$ est un élément de $\U_{n}.$
    
    Montrer que l'inverse de tout élément de $\U_n$ est élément de $\U_n$.
    Si $z$ est élément de $\U_{n}$ alors : \[ z\neq 0\Et \left( \frac{1}{z}\right) ^{n}= \frac{1}{z^{n}}=1, \] ce qui prouve que $\ds\frac{1}{z}$ est un élément de $\U_{n}.$
    
    Proposition 20 Il existe exactement $n$ racines $n$^es de l'unité, qui sont les complexes : \[ \xi _{k} =e^{i\frac{2k\pi }{n}} \avec k\in \crochetentierouvrant0,n-1\crochetentierfermant. \] Justification
    
    On prouve d'abord : \[ \U_n = \big\{e^{i\frac{2k\pi }{n}}\pour k\in\Z\big\}. \]
    
    On en déduit facilement : \[ \U_n = \big\{e^{i\frac{2k\pi }{n}}\pour k\in \crochetentierouvrant0,n-1\crochetentierfermant\big\}. \]
    
    Enfin on montre : \[ \fa{k\in \crochetentierouvrant0,n-1\crochetentierfermant} \fa{\ell\in \crochetentierouvrant0,n-1\crochetentierfermant} e^{i\frac{2k\pi }{n}} = e^{i\frac{2\ell\pi }{n}} \Rightarrow k = \ell. \]
    
    Pour $k\in \crochetentierouvrant0,n-1\crochetentierfermant$, quelle relation entre $\xi_k$ et $\xi_1$ ?
    On a évidemment : \[ \xi _{k}=e^{i\frac{2k\pi }{n}} =\big(e^{i\frac{2\pi }{n}}\big)^{k} =\xi _{1}^{k}. \] On peut donc aussi écrire : \[ \U_n = \big\{\xi _{1}^{k}\pour k\in \crochetentierouvrant0,n-1\crochetentierfermant\big\}. \]
    
    Remarque Dans la dernière partie, on justifiera que les affixes des racines $n$^es de l'unité sont les sommets d'un polygone régulier. Mais il peut être bon d'y penser dès maintenant. Voir éventuellement ici en prenant $z=1$.
    
    Proposition 21 Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2$.
    
    Si $\xi $ est une racine $n$^e de l'unité différente de $1$, on a : \[ 1+\xi +\xi ^{2}+\cdots +\xi ^{n-1}=0. \]
    
    La somme des racines $n$^es de l'unité est égale à $0$.
    Justification
    
    Pour le premier point, remarquer qu'il s'agit d'une somme des termes d'une progression géométrique.
    
    Le second s'en déduit puisque : \[ \U_n = \big\{\xi _{1}^{k}\pour k\in \crochetentierouvrant0,n-1\crochetentierfermant\big\}. \]
    
    Exemple 30
    
    Si $j=\exp (\frac{2i\,\pi }{3})$, que vaut $1+j+j^{2}$ ?
    Inutile de faire le moindre calcul, car il est évident que :
    \[ j^{3} = 1. \]
    
    Solution
    Comme $j$ est une racine cubique (troisième) de l'unité, différente de $1$, on a immédiatement : \[ 1+j+j^{2} = 0. \]
    
    Résoudre l'équation : $z^{2}-z+1=0$.
    Cette équation est obtenue à partir de l'équation $z^{2}+z+1=0$ en changeant $z$ en $-z$. Ses solutions sont donc :
    \[ -j \et -j^2 \] ou encore : \[ -j \et -\bar{\jmath}. \]
    
    Remarque Dans ce contexte, la lettre $j$ représente classiquement le nombre complexe $\exp \big(\frac{2i\,\pi}{3}\big)$. Ne pas confondre avec la physique où il représente $i$.
    
    Exemple 31   On prend ici $n=6$.
    
    Exhiber, dans $\U_n$, un $\xi\neq1$ tel que $\U_n \neq \{\xi^k\,|\,k\in\ceo 0,n-1\cef \}$.
    Le complexe $\xi = j$ est un élément de $\U_6$, puisque :
    \[ j^{6} = \big(j^{3}\big)^{2} = 1. \]
    
    Mais : \[ \{\xi^k\,|\,k\in\ceo 0,n-1\cef \} = \{1,j,j^2\}, \] est différent de $\U_6$ qui contient $6$ éléments.
    
    Pour un tel $\xi$, que vaut $1+\xi +\xi ^{2}+\cdots +\xi ^{n-1}$ ?
    Même si : \[ \U_n \neq \{\xi^k\,|\,k\in\ceo 0,n-1\cef \}, \] on a quand-même : $$1+\xi +\xi ^{2}+\cdots +\xi ^{n-1}=0,$$ puisque $\xi\in\U_n$ et $\xi\neq 1$ (voir proposition précédente).
  3. Racines $ n$-iemes d'un complexe quelconque
    
    Proposition 22 Si $Z_0$ est une racine $n$^e de $z$, l'ensemble des racines $n$^es de $z$ est : \[ \left\{ Z_0\,\xi \pour \xi \in \U_{n} \right\}. \] Justification
    Lorsque $z\neq0$, l'équation $Z^n=z$ s'écrit aussi : $$\left(\frac{Z}{Z_0}\right)^{n}=1.$$
    
    Proposition 23 Le complexe $z\neq 0$ de module $r$ et d'argument $\theta$ admet $n$ racines $n$^es qui sont : \[ Z_{k}=r^{\frac{1}{n}}\,e^{i(\frac{\theta }{n}+\frac{2k\pi }{n})} \et[avec] k\in \ceo 0,n-1\cef. \] Justification
    Il suffit d'appliquer la proposition précédente après avoir remarqué que $z_{0}=r^{\frac{1}{n}}e^{i\frac{\theta }{n}}$ est une racine $n$^e de $z$.
    
    Méthode
    
    Pour trouver toutes les racines $n$^es de $z$, il suffit donc d'en exhiber une et de la multiplier par toutes les racines $n$^es de l'unité.
    
    Mais, si vous avez un doute sur ce résultat, il est tout aussi rapide de résoudre sous forme (algébrique ? trigonométrique ?
    trigonométrique évidemment
    ) l'équation $Z^{n} = z$.
    En utilisant les formes trigonométriques : $$Z = \rho\,e^{i\alpha},$$ l'équation $Z^{n} = z$ s'écrit : \[ \rho^{n}\,e^{n\,i\alpha} = r\,e^{i\,\theta} \] ce qui équivaut à : \[ \rho^{n} = r \et n\,i\alpha \equiv \theta\,[2\pi]. \] Il est alors facile de conclure.
    
    Exemple 32   Déterminer les racines cinquièmes de $1+i$.
    Comme : $$1+i = \sqrt{2} \, e^{\frac{i\pi}{4}},$$ l'ensemble des ses racines cinquièmes est : \[ \Big\{2^{\frac{1}{10}}\,e^{i(\frac{\pi }{20}+\frac{2k\pi }{5})} \pour k\in \ceo 0,4\cef\Big\}. \]
    
    Exemple 33   Pour $n\in \N$, résoudre l'équation $z^{2n+1}=-1 $.
    Comme l'exposant est impair, le complexe $-1$ est une solution évidente. Les solutions sont donc les opposées des racines $(2n+1)$^es de l'unité.
    
    Exemple 34   Pour $n\in \N$, résoudre l'équation $z^{2n}=-1 $.
    Comme $-1 = e^{i\pi}$, l'une des solutions est : \[ z = e^{i\frac{\pi}{n}}. \] Par suite, l'ensemble des racines est : \[ \Big\{e^{i(\frac{\pi}{n}+\frac{2k\pi}{n}}) \pour k\in \ceo 0,n-1\cef \Big\} \] ou encore : \[ \Big\{e^{i\frac{(2k+1)\pi}{n}} \pour k\in \ceo 0,n-1\cef \Big\}. \]
    
    Exemple 35   La somme des racines $n$^es d'un complexe quelconque est-elle nulle ?
    Bien sûr.
    Avec les notations de la première proposition de cette partie, La somme des racines $n$^es de $z$ vaut : \[ \sum_{\xi \in \U_n} Z_0\,\xi_k = \xi_k \sum_{\xi \in \U_n} Z_0 = 0. \]
    
    Remarque Dans la dernière partie, on justifiera que les affixes des racines $n$^es d'un complexe non nul sont les sommets d'un polygone régulier. Mais il peut être bon d'y penser dès maintenant. Voir éventuellement ici .
3. Résolution de l'équation $ e^z=a$
  Proposition 24 Soit $a$ un nombre complexe non nul.
  
  Il existe (au moins) un complexe $z$ tel que $e^z=a$.
  
  Si $z_0$ est un complexe vérifiant $e^{z_0}=a$, alors : \[ \big(e^z=a\big)\, \Longleftrightarrow\,\big( \ex{k\in\Z}z=z_0+2i\,k\,\pi\big). \]
  Justification
  Écrire $a$ sous forme trigonométrique : \[ a = \rho\,e^{i\theta} \] puis chercher $z$ sous la forme algébrique $z=x+i\,y$, ce qui équivaut à :
  \[ e^{x} = \rho \et y \equiv \theta\;[2\pi]. \] On en déduit que $z=x+i\,y$ est solution si, et seulement si : \[ x = \ln \rho \et \ex{k\in\Z} y = \theta+2\,k\,\pi. \]
  (Culture générale) Pourrait-on définir un logarithme complexe ?
  À première vue c'est impossible, puisque $\ldots$
  $\ldots$ la fonction exponentielle complexe n'est pas injective.
  
  Mais, comme on le fait pour définir les fonctions $\arcsin$, $\arccos$, $\ldots$, on peut réduire le domaine.
  On pourrait par exemple prendre la fonction : \[ \fonction{\big\{z \tq -\pi < \Im z \leq \pi\big\}}{\C^{*}}{z}{e^{z}} \] qui est bijective, et pour laquelle on pourrait définir une fonction réciproque.
  
  Mais ceci est une autre histoire !
Applications géométriques
1. Alignement et orthogonalité
  Proposition 25 Soit $\vec{u}_1$ et $\vec{u}_2$ deux vecteurs non nuls du plan, d'affixes respectives $z_1$ et $z_2$.
  
  Alors $\dfrac{z_2}{z_1}$ a pour argument toute mesure de l'angle $\aov{u_1}{u_2}$.
  
  Ainsi, $\vec{u}_1$ et $\vec{u}_2$ sont colinéaires si, et seulement si, $\dfrac{z_2}{z_1}\in\R$ ;
  
  De même, on a $\vec{u}_1 \perp \vec{u}_2$ si, et seulement si, $\dfrac{z_2}{z_1}\in i\,\R$.
  Justification
  
  Pour le premier point, conséquence du calcul d'argument d'un quotient.
  
  On en déduit les deux suivants.
  Proposition 26 Soit $A$, $B$ et $C$ trois points du plan, deux à deux distincts, et d'affixes respectives $a$, $b$ et $c$.
  
  Alors $\dfrac{b-a}{c-a}$ a pour argument toute mesure de l'angle $\aov{AC}{AB}$.
  
  Ainsi, $A$, $B$ et $C$ sont alignés si, et seulement si, $\dfrac{b-a}{c-a}\in\R$ ;
  
  De même, on a : $\vect{AC} \perp \vect{AB} \Longleftrightarrow \dfrac{b-a}{c-a}\in i\,\R$.
  Justification
  Conséquence de la proposition précédente.
  Méthode Pour exprimer : $$\frac{b-a}{c-a}\in\R \ou \frac{b-a}{c-a}\in i\,\R,$$ penser à utiliser le conjugué (voir partie correspondante).
  
  Exemple 36 Soit $A$ et $B$ deux points distincts du plan, d'affixes respectives $a$ et $b$. Montrer qu'un point $M$, d'affixe $z$, appartient au cercle $\Gamma$ de diamètre $[AB]$ si, et seulement si : \[ 2\,z\,\bar{z}-(\overline{a}+\overline{b})\,z-(a+b)\,\bar{z} +a\,\overline{b}+\overline{a}\,b = 0. \] Rappel : on a $M\in\Gamma$ si, et seulement si, les vecteurs $\vect{MA}$ et $\vect{MB}$ $\ldots$
  $\ldots$ sont orthogonaux.
  Le point $M$, d'affixe $z$, appartient au cercle de diamètre $[AB]$ si, et seulement si: \[ \vect{MA} \perp \vect{MB}, \] ce qui équivaut à : $$\frac{z-a}{z-b}\in i\R, $$ ou encore à : \[ \frac{z-a}{z-b} = - \overline{\left(\frac{z-a}{z-b}\right)} = -\frac{\bar{z}-\bar{a}}{\bar{z}-\bar{b}}\cdot \] Cette dernière condition est équivalente à : \[ (z-a)\,(\bar{z}-\bar{b})+ (z-b)\, (\bar{z}-\bar{a}) = 0 \] ou encore à : \[ 2\,z\,\bar{z}-(\bar{a}+\bar{b})\,z-(a+b)\,\bar{z}+a\,\bar{b}+\bar{a}\,b = 0, \] ce qui est le résultat attendu.
  Exemple 37 Soit $A_{1}$, $A_{2}$ et $A_{3}$ trois points du cercle trigonométrique, deux à deux distincts, d'affixes respectives $a_{1}$, $a_{2}$ et $a_{3}$. Soit $H$ un point quelconque d'affixe $h$.
  
  Montrer : $(A_{1}H)\perp (A_{2}A_{3}) \Longleftrightarrow \left(a_{1}-h\right) -\big( \bar{a}_1-\overline{h}\big)\, a_{2}\,a_{3}=0 \vphantom{\ds \int}$.
  La relation : $$(HA_{1})\perp (A_{2}A_{3})$$ se traduit par : $$ \frac{a_{1}-h}{a_{3}-a_{2}}\in i\,\R ,$$ c'est-à-dire : \[ \frac{a_{1}-h}{a_{3}-a_{2}}+\frac{\bar{a}_1-\overline{h}}{\bar{a}_3-\bar{a}_2}=0. \] Comme $A_2$ et $A_3$ sont sur le cercle trigonométrique, on a : $$|a_2|=|a_3|=1, $$ et donc : \[ \bar{a}_3-\bar{a}_2 = \frac{1}{a_3}-\frac{1}{a_2} = \frac{a_2-a_3}{a_2\,a_3}\cdot \] On en déduit aisément la relation demandée, en simplifiant par $a_2-a_3$, qui est non nul puisque $A_2\neq A_3$.
  
  Remarque En utilisant deux relations de ce type, on peut déterminer l'affixe de l'orthocentre du triangle.
  
  Montrer : $H\in (A_{2}A_{3}) \Longleftrightarrow \left( a_{2}-h\right)+\big( \bar{a}_2-\overline{h}\big) a_{2}\,a_{3}=0$.
  La relation $H_{1}\in A_{2}A_{3}$ se traduit par : $$\frac{a_{2}-h}{a_{3}-a_{2}}\in \R,$$ c'est-à-dire : \[ \frac{a_{2}-h}{a_{3}-a_{2}}-\frac{\bar{a}_2-\bar{h}}{\bar{a}_3-\bar{a}_2}=0. \] On termine comme dans la question précédente.
  
  Remarque En utilisant cette relation et la précédente, on peut déterminer l'affixe du pied de la hauteur issue de $A_1$.
2. Transformations remarquables du plan
  Représentation d'une application du plan
  Si $F$ est une application du plan dans lui-même, on peut lui associer une unique application $f$ de $\C$ dans $\C$ telle que pour tous points $M$ et $M'$ d'affixes respectives $z$ et $z'$ on ait $ M'=F(M)$ si, et seulement si, $z'=f(z)$.
  
  Réciproquement, la donnée de $f$ caractérise l'application $F$.
  On dit alors que $F$ est représentée par $f$ dans la plan complexe.
  1. Translations, homothéties
    
    Dans cette partie, $\vec u$ désigne un vecteur du plan.
    
    Définition La translation de vecteur $\vec u$ est l'application du plan dans lui-même qui, à tout point $M$, associe l'unique point $M'$ tel que $\vect{MM'}=\vec u$.
    
    Proposition 27 Si $a$ est l'affixe de $\vec u$, alors la translation de vecteur $\vec u$ est représentée dans le plan complexe par :$$f : \fonction{\C}{\C}{z}{z+a.}$$ Justification
    Les relations : $$\vect{MM'}=\vec u \et f(z)-z =a$$ sont manifestement équivalentes.
    
    Dans la suite, $\Omega$ est un point du plan, et $\lambda$ un réel non nul.
    
    Définition L'homothétie de centre $\Omega$ et de rapport ${\lambda}$ est l'application du plan dans lui-même qui, à tout $M$, associe l'unique point $M'$ tel que $\vect{\Omega M'}={\lambda}\,\vect{\Omega M{\phantom'}}$.
    
    Proposition 28 L'homothétie de centre $\Omega$, d'affixe $\omega$, et de rapport ${\lambda}$ est représentée dans le plan complexe par : $$\fonction\C\C z{\omega+{\lambda}\,(z-\omega).}$$ Justification
    Les relations : $$\vect{\Omega M'}={\lambda}\,\vect{\Omega M{\phantom'}} \et f(z)-\omega = \lambda\,(z-\omega)$$ sont manifestement équivalentes.
    
    Exemple 38 Donner la représentation complexe de la symétrie par rapport à un point $A$ d'affixe $a$.
    
    Une telle symétrie est une homothétie de centre $a$ et de rapport $-1$. Elle est donc représentée par : $$f:z\mapsto a-(z-a) = 2\,a -z.$$
    
    On peut aussi dire que, si $a$, $z$ et $z'$ sont les affixes respectives de $A$, de $M$ et de son symétrique $M'$, on a : $$a=\frac12(z+z') \et[et donc] z'=2a-z.$$
  2. Rotations
    
    Dans cette partie, $\Omega$ est un point du plan, et $\theta$ un réel quelconque.
    
    Définition La rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\theta$ est l'application du plan dans lui-même qui transforme $\Omega$ en $\Omega$, et tout point $M\neq \Omega$ en l'unique $M'$ tel que : \[ \norme{\vect{\Omega M^{\phantom\prime}}}= \norme{\vect{\Omega M'}} \!\!\!\Et\!\!\! \aov{\Omega M^{\phantom\prime}}{\Omega M'}\equiv \theta\;[2\pi]. \]
    
    Proposition 29 La rotation $r$ de centre $\Omega$, d'affixe $\omega$, et d'angle ${\theta}$ est représentée dans le plan complexe par l'application : $$\fonction\C\C z{\omega+e^{i{\theta}}\,(z-\omega).}$$ Justification
    Les relations : \[ \Omega M'=\Omega M \Et \aov{{\Omega M'}}{{\Omega M}} \equiv {\theta}\;[2{\pi}] \] et : \[ z'-\omega=e^{i{\theta}}(z-\omega) \] sont équivalentes d'après les règles de calcul des complexes sous forme trigonométrique.
    
    Exemple 39 Pour $n\geq 2$, justifier que les images des racines $n$^es d'un complexe non nul sont les sommets d'un polygone régulier, comme on peut le voir sur cette animation .
    Soit un entier $n\geq2$ et $z\in\C^{*}$. En désignant par $(Z_k)_{k\in \ceo 0,n-1\cef }$ les racines $n$^es de $z$ et par $(A_k)_{k\in \ceo 0,n-1\cef }$ leurs images, on a : \[ \fa{k\in \ceo 0,n-1\cef} Z_k=Z_0\,e^{\frac{2i{\pi}}{n}} \] et donc, en posant $Z_{n} = Z_0$ et $A_n=A_0$ : \[ \fa{k\in \ceo 0,n-1\cef} Z_{k+1}=Z_{k}\,e^{\frac{2i{\pi}}{n}}. \] Par suite chaque $A_k$ se déduit du précédent par une rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{2i{\pi}}{n}$, et $A_0$, $A_1$, $\ldots$ , $A_{n-1}$ sont donc les sommets d'un polygone régulier centré en $O$.
    
    Exemple 40 Comment le résultat de l'exemple précédent permet-il de retrouver la valeur de la somme des racines $n$^es d'un complexe ?
    Penser à l'isobarycentre des sommets du polygone.
    Avec les notations de l'exemple précédent, l'isobarycentre des points $A_0$, $A_1$, $\ldots$ , $A_{n-1}$ a pour affixe : \[ \frac{Z_0+Z_1+\cdots+Z_{n-1}}{n}\cdot \] Comme $A_0$, $A_1$, $\ldots$ , $A_{n-1}$ sont les sommets d'un polygone régulier de centre $O$, on retrouve la relation : \[ Z_0+Z_1+\cdots+Z_{n-1} = 0. \]
  3. Similitudes directes
    
    Définition On appelle similitude directe du plan toute application du plan dans lui-même représentée dans le plan complexe par : $$z\mapsto a\,z+b \avec a \in\C^{*} \text{ et } b\in \C.$$
    
    Exemple 41   Donner des exemples de similitudes directes.
    D'après les propositions précédentes, on voit que translations, homothéties et rotations sont des similitudes directes.
    
    Exemple 42   Vérifier qu'une similitude directe conserve les angles et les rapports des distances.
    Il faut donc prouver que si $A_1$, $A_2$, $A_3$ et $A_4$, des points tels que : \[ A_1\neq A_2 \et A_3\neq A_4, \] alors leurs images $A'_1$, $A'_2$, $A'_3$ et $A'_4$ vérifient : \[ A'_1\neq A'_2 \et A'_3\neq A'_4, \] et : \[ \aov{A'_1 A'_2}{A'_3 A'_4}\equiv\aov{A_1A_2}{A_3A_4}\;[2\pi] \] ainsi que : \[ \frac{d\bigl(A'_3,A'_4\bigr)}{d\bigl(A'_1,A'_2\bigr)}= \frac{d\bigl(A_3,A_4\bigr)}{d\bigl(A_1,A_2\bigr)}\cdot \] Solution
    Soit une similitude représentée par : $$f : z\mapsto a\,z+b.$$ Considérons $A_1$, $A_2$, $A_3$ et $A_4$, des points tels que $A_1\neq A_2$ et $A_3\neq A_4$. Notons $z_1$, $z_2$, $z_3$ et $z_4$ leurs affixes respectives ainsi que $z'_1$, $z'_2$, $z'_3$ et $z'_4$ les affixes de leurs images $A'_1$, $A'_2$, $A'_3$ et $A'_4$. On a alors : \[ z'_2-z'_1=a\,(z_2-z_1) \et[ainsi que] z'_4-z'_3=a\,(z_4-z_3). \]
    
    Comme $z_1\neq z_2$, $z_3\neq z_4$ et $a\neq0$, on en déduit : \[ z'_1\neq z'_2 \et z'_3\neq z'_4, \] ce qui permet de parler de l'angle $\aov{A'_1 A'_2}{A'_3 A'_4}$, et d'obtenir par quotient : \[ \frac{z'_4-z'_3}{z'_2-z'_1}=\frac{z_4-z_3}{z_2-z_1}\cdot \]
    
    Par comparaison des arguments, on en déduit : \[ \aov{A'_1 A'_2}{A'_3 A'_4}\equiv\aov{A_1A_2}{A_3A_4}\;[2\pi]. \]
    
    Par égalité des modules, on déduit : \[ \frac{d\bigl(A'_3,A'_4\bigr)}{d\bigl(A'_1,A'_2\bigr)}= \frac{d\bigl(A_3,A_4\bigr)}{d\bigl(A_1,A_2\bigr)}\cdot \]
    
    Si vous n'avez pas encore étudié le chapitre sur les applications et donc la notion générale de composée d'applications, voir ici avant de poursuivre.
    Comme dans le cas des fonctions réelles,
    
    on définit la composée de deux applications $f$ et $g$ de $\C$ dans $\C$ par : \[ g\circ f\,:\;\fonction\C\C z{g\big(f(z)\big).} \]
    
    on définit la composée de deux applications $F$ et $G$ du plan dans lui-même par : \[ G\circ F\,: M\mapsto G\big(F(M)\big). \]
    
    Exemple 43   Vérifier que la composée des deux similitudes directes est une similitude directe.
    Soit $F$ et $G$ deux similitudes directes, représentées respectivement dans le plan complexe par : \[ f : z \mapsto a\,z+b \et g: z \mapsto c\,z+d, \] avec $a\in\C^{*}$, $b\in\C$, $c\in\C^{*}$ et $d\in\C$. Pour tout $z\in\C$, on a alors : \[ (g\circ f)(z)= c\,f(z) +d = c\,a\,z +c\,b+d. \] Comme les hypothèses entraînent $c\,a\neq0$, on en déduit que $g\circ f$ représente une similitude directe.
    
    Proposition 30 Soit $a\in\C^*$ de forme trigonométrique $a= \rho\,e^{i\alpha}$, soit $b\in\C$, et $F$ la similitude du plan représentée par : \[ f : z\mapsto a\,z+b. \]
    
    Si $a=1$, alors $F$ est la translation de vecteur d'affixe $b$.
    
    Si $a\neq 1$, alors $F$ admet un unique point invariant $\Omega$, et : \[ F = H \circ R = R\circ H \avec\left\{ \begin{array}{l} \small\text{$R$ rotation de centre $\Omega$, d'angle ${\alpha}$,}\\ \small\text{$H$ homothétie de centre $\Omega$, de rapport $\rho$}\\ \end{array}\right. \]
    Justification
    
    Si $a=1$, alors résultat déjà vu.
    
    Supposons $a\neq 1$.
    
    Alors l'équation $f(z)=z$ admet une unique solution $\omega$.
    Puisque le coefficient de $z$ vaut $a-1\neq0$.
    
    Il suffit alors de s'intéresser à :
    \[ f(z)-\omega \] que l'on intérêt à écrire :
    \[ f(z)-f(\omega) = (a\,z+b)-(a\,\omega+b) . \] On en déduit le résultat car :
    d'une part, on a : \[ f(z)-\omega = \rho\, \big(e^{i\alpha}\,(z-\omega)\big), \] d'autre part, on a : \[ f(z) =e^{i\alpha}\,\big(\rho\,(z-\omega)\big). \]
    
    Définition Avec les notations précédentes, lorsque $|a|\neq1$ :
    
    le point $\Omega$ est appelé le centre de la similitude ;
    
    le réel positif $|a|=\rho$ est appelé rapport de la similitude ;
    
    le réel $\alpha$ est appelé mesure de l'angle de la similitude.
    
    Exemple 44   Cas particuliers
    
    Si $a=1$, alors $F$ est :
    $\ldots$ la translation de vecteur d'affixe $b$.
    
    Si $a\in \R^{*}$ et $b=0$, alors $F$ est :
    $\ldots$ l'homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $a$.
    
    Si $|a|=1$ et $a\neq1$, alors $F$ est :
    $\ldots$ la rotation de centre $\Omega$ et d'angle ${\alpha}$.
    
    Inversement, la similitude directe de centre $\Omega$ (d'affixe $\omega$), de rapport $k$ et d'angle ${\alpha}$ est représentée par :
    \[ f : z \mapsto = \omega + k\,e^{i{\alpha}}\,(z-\omega) . \] puisque $\ldots$
    $\ldots$ ce n'est que la traduction de : \[ f(z) - \omega k\,e^{i{\alpha}}\,(z-\omega). \]
  4. Symétries
    
    Proposition 31 L'application $z\mapsto \bar z$ représente la symétrie du plan par rapport à la droite $(O,\vi)$.
    Justification
    Évident par définition du conjugué.
    
    À titre d'exercice, on peut donner les représentations de toutes les symétries axiales.
    
    Exemple 45 Soit $\alpha\in\R$, et $D_{\alpha}$ la droite passant par le point $\Omega$, d'affixe $\omega$, et telle que $(\widehat{Ox,D_{\alpha}}) = \alpha$. Donner la représentation de la symétrie orthogonale $S$ par rapport à $D_{\alpha}$.
    Introduire l'affixe $e^{i\alpha}$ d'un vecteur unitaire directeur $\vec u$ de cette droite, et exprimer que l'on a : \[ \aov{u}{\Omega M'}=\aov{\Omega M}{u} \et \Omega M' = \Omega M, \] où $M'$ désigne l'image de $M$.
    L'égalité des mesures d'angles s'exprime facilement à l'aide d'arguments de quotients.
    Pour $\aov{\Omega M}{u}$ par exemple, utiliser : $$\arg\Big(\frac{e^{i\alpha}}{z-\omega}\Big) ,$$ et remarquer que :
    \[ \arg\Big(\frac{e^{i\alpha}}{z-\omega}\Big) \equiv -\arg\Big(\frac{z-\omega}{e^{i\alpha}}\Big) \;[2\pi] \]
    
    Solution
    Soit
    
    un vecteur unitaire $\vec u$ directeur de $D_{\alpha}$, et d'affixe $e^{i\alpha}$,
    
    un point $M$ d'affixe $z$, et $M'$ d'affixe $z'$ son image par la symétrie $S$.
    Traduisons les relations : \[ \aov{u}{\Omega M'} =\aov{\Omega M}{u} \et \Omega M = \Omega M' \tag{$*$} \] à l'aide des complexes.
    
    Modulo $2\pi$, on a : \[ \aov{u}{\Omega M'} \equiv \arg\Big(\frac{z'-\omega}{e^{i\alpha}}\Big) \] ainsi que : \begin{align*} \aov{\Omega M}{u} &\equiv \arg\Big(\frac{e^{i\alpha}}{z-\omega}\Big)\\\\ &\equiv -\arg\Big(\frac{z-\omega}{e^{i\alpha}}\Big)\\\\ &\equiv \arg\overline{\Big(\frac{z-\omega}{e^{i\alpha}}\Big)}\\\\ &\equiv \arg\Big(\frac{\bar z-\bar \omega}{e^{- i\alpha}}\Big)\\\\ \end{align*}
    
    Comme $|e^{i\alpha} |=|e^{-i\alpha} |=1$, l'égalité $\Omega M' = \Omega M$ équivaut à : \[ \Big|\frac{z'-\omega}{e^{i\alpha}}\Big| = \Big|\frac{\bar z-\bar \omega}{e^{- i\alpha}}\Big| \]
    
    Par suite, la relation $(*)$ est équivalente à l'égalité : \[ \frac{z'-\omega}{e^{i\alpha}} =\frac{\bar z-\bar \omega}{e^{- i\alpha}}, \] ce qui donne : \[ z' = \omega + {e^{2i\alpha}}\,(\bar z-\bar \omega). \]
    
    Exemple 46 Les symétries axiales sont les applications de la forme : \[ z\mapsto a\,\bar z+b \] avec $|a|\in\U$, $b\in\C$ et $a\,\bar b+b=0$.
    
    Si $f$ représente une symétrie axiale , alors l'exemple précédent prouve l'existence d'un $a\in\U$ et d'un $b\in\C$.
    Avec les notations de l'exemple précédent, supposons que $f$ représente la symétrie par rapport à $D_{\alpha}$. Alors, pour tout $z\in\C$, on a : \begin{align*} f(z) & =\omega + e^{2i\alpha}\,(\bar z-\bar \omega)\\\\ &= e^{2i\alpha}\,\bar z +( \omega - e^{2i\alpha}\,\bar \omega). \end{align*} En prenant $a =e^{2i\alpha} $ et $b = \omega - e^{2i\alpha}\,\bar \omega$, on a bien : \[ f : z \mapsto a\,\bar z + b. \]
    
    Il reste à vérifier les conditions $|a|=1$ et $a\,\bar b+b=0$. On peut le faire de deux façons.
    
    À l'aide des valeurs de $a$ et $b$ trouvées.
    Comme $a =e^{2i\alpha} $, il est évident que l'on a : \[ |a| = 1. \] Un calcul direct donne : \begin{align*} a\,\bar b+b &= e^{2i\alpha}\,\overline{(\omega - e^{2i\alpha}\,\bar \omega)} +(\omega - e^{2i\alpha}\,\bar \omega)\\\\ &= e^{2i\alpha}\,(\bar\omega - e^{-2i\alpha}\,\omega) +(\omega - e^{2i\alpha}\,\bar \omega)\\\\ &=0. \end{align*}
    
    Directement avec l'expression $f(z)=a\,z+b$, car $f$ doit vérifier :
    \[ \fa{z\in\C} (f \circ f)(z) = z \] puisque $S \circ S $ est l'identité du plan.
    Étant donné que : \[ \fa{z\in\C} f(z) = a\,\bar z +b, \] pour tout $z\in\C$, on a : \begin{align*} (f\circ f)(z) &= a\,(\overline{f(z)}) + b \\\\ &= a\,(\bar a \, z +\bar b) + b \\\\ &= a\,\bar a \, z +a\,\bar b + b. \end{align*} Comme $S$ est une symétrie, $f \circ f$ doit représenter l'identité, ce qui entraîne : \[ a\,\bar a = 1 \et[et donc] |a|=1, \] ainsi que : \[ a\,\bar b + b = 0. \]
    
    Pour la réciproque, commencer par trouver un point invariant.
    D'après la partie directe, on peut la plupart du temps trouver un point invariant d'affixe réelle.
    D'après la partie directe, $f$ devrait être la symétrie par rapport à la droite $D_{\alpha}$ avec : \[ (\widehat{Ox,D_{\alpha}}) = \alpha \et a = e^{2i\alpha}. \] Par suite, cette droite coupe l'axe des réels lorsque :
    \[ \alpha \not\equiv 0\;[\pi] \] et donc : \[ a \neq 1. \] Et dans les autres cas ?
    Chercher un point invariant d'affixe imaginaire pure.
    
    Solution
    Considérons la transformation représentée par : \[ f : z\mapsto a\,\bar z+b \] avec $|a|\in\U$, $b\in\C$ et $a\,\bar b+b=0$.
    
    Montrons qu'il existe un point invariant $\Omega$, d'affixe $\omega\in\C$.
    
    Supposons $a\neq 1$. Alors la solution $\omega$ de l'équation : \[ a\,z + b = z \] qui est $\omega=\frac{b}{1-a}$ est réelle puisque : \begin{align*} \bar \omega &= \frac{\bar b}{1-\bar a}\\\\ &= \frac{-\frac{b}{a}}{1-\bar a} \hskip5ex \text{car }a\,\bar b+b=0 \\\\ &= \frac{- b}{a-a\,\bar a}\\\\ &= \frac{- b}{a-1} \hskip5ex \text{car } |a|=1 \\\\ &= \omega. \end{align*} Par suite, on a : \[ \omega = a\,\omega + b = a\,\bar\omega + b, \] ce qui prouve que le point $\Omega$, d'affixe $\omega$, est invariant.
    
    Supposons $a = 1$. Alors la condition : $$ 0 = a\,\bar b+b = \bar b+b $$ entraîne $b\in i\R$. Il est alors facile de vérifier que le point $\Omega$, d'affixe $\frac{b}{2}$, est invariant.
    
    Comme $|a|=1$, on peut trouver $\alpha\in\R$ tel que : \[ a = e^{2i\alpha}. \] En utilisant le point invariant précédemment trouvé, on peut alors écrire : \begin{align*} f(z) &= e^{2i\alpha} \,\bar z + b \\ \omega &= e^{2i\alpha} \,\bar\omega + b, \end{align*} ce qui donne par différence : \[ f(z) - \omega = e^{2i\alpha} \, (\bar z -\bar\omega ). \] D'après le calcul fait dans l'exemple précédent, cela prouve que le point d'affixe $f(z)$ est le symétrique du point d'affixe $z$ par rapport à a droite $D_{\alpha}$ passant par le point $\Omega$, d'affixe $\omega$, et telle que $(\widehat{Ox,D_{\alpha}}) = \alpha$. Ce qui termine la démonstration.