\(\def\R{\mathbb{R}} \def\Rpe{\R^{*}_+} \def\N{\mathbb{N}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\K{\mathbb{K}} \def\B{\mathbb{B}} \def\C{\mathbb{C}} \def\U{\mathbb{U}} \let\leq=\leqslant \let\geq=\geqslant \let\ge=\geq \let\le=\leq \def\RR{{\mathcal R}} \def\vect#1{\overrightarrow{#1}} \def\fa#1{\forall #1 \quad} \def\ex#1{\exists #1 \quad} \def\crochetentierouvrant{\mathopen{[\![}} \def\crochetentierfermant{\mathclose{]\!]}} \newcommand{\Et}[1][et]{\qquad\mbox{#1}\qquad} % Dans les formules \newcommand{\Ou}{\Et[ou]} % en display \newcommand{\Avec}{\Et[avec]} % \newcommand{\et}[1][et]{\quad\mbox{#1}\quad} % Dans les formules \newcommand{\ou}{\et[ou]} % en display \newcommand{\avec}{\et[avec]} % \newcommand\res[1]{\fbox{#1}} \let\oldphi=\phi \renewcommand{\phi}{\varphi} \newcommand{\eps}{\varepsilon} \let\epsilon=\eps \newcommand{\fonction}[5][rcl] {\begin{array}[t]{#1} #2& \longrightarrow& #3\\ #4& \longmapsto& #5\end{array}} \newcommand{\matrice}[2]{\left(\begin{array}{#1}#2\\\end{array}\right)} \newcommand{\determ}[2]{\left|\begin{array}{#1}#2\\\end{array}\right|} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \def\restr#1{_{|_{#1}}} \def\O{{\rm{O}}} \def\o{{\rm{o}}} \newcommand\usim[1]{\mathop{{\underset{#1}{\sim}}}} % avec l'argument en dessous \def\To_#1{\mathrel{\mathop{\longrightarrow}\limits_{#1}}} \def\diff{\textrm d} \newcommand{\motreserve}[2]{ \def#1{\mathop{\rm #2}\nolimits}} \def\card{\Card} \def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits} \def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits} \def\th{\mathop{\rm th}\nolimits} \def\tg{\mathop{\rm tan}\nolimits} \def\cotg{\mathop{\rm cotan}\nolimits} \let\cotan=\cotg \def\argch{\mathop{\rm argch}\nolimits} \def\argsh{\mathop{\rm argsh}\nolimits} \def\arcsin{\mathop{\rm arcsin}\nolimits} \def\arccos{\mathop{\rm arccos}\nolimits} \def\argth{\mathop{\rm argth}\nolimits} \def\arctg{\mathop{\rm arctan}\nolimits} \let\arctan=\arctg \def\Arg{\mathop{\rm Arg}\nolimits} \def\Id{\mathop{\rm Id}\nolimits} \def\Ker{\mathop{\rm Ker}\nolimits} \let\ker=\Ker \def\det{\mathop{\rm det}\nolimits} \def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits} \def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits} \def\rg{\mathop{\rm rg}\nolimits} \def\Tr{\mathop{\rm Tr}\nolimits} \let\tr=\Tr \def\Mat{\mathop{\rm Mat}\nolimits} \def\Diag{\mathop{\rm Diag}\nolimits} \def\Vect{\mathop{\rm Vect}\nolimits} \def\Card{\mathop{\rm card}\nolimits\,} \def\grad{\mathop{\vect{{\rm grad}}}\nolimits} \def\divergence{\mathop{\rm div}\nolimits} \def\rot{\mathop{\rm rot}\nolimits} \let\emptyset=\varnothing %%%%%%% ALGEBRE LINEAIRE %%%%%%%%% \def\lin{{\mathcal L}} \newcommand\Mn[1][n]{\mathcal{M}_{#1}} \def\GL{{\mathcal{GL}}} \def\GA{{\mathcal{GA}}} \newcommand\GLn[1][n]{\mathcal{GL}_{#1}} \def\SO{{\mathcal{SO}}} \newcommand\SOn[1][n]{\mathcal{S\mskip-0.3\thinmuskip O}_{#1}} \def\OO{{\mathcal O}} \newcommand\OOn[1][n]{\mathcal{O}_{#1}} \def\SL{{\mathcal{SL}}} \newcommand\SLn[1][n]{\mathcal{SL}_{#1}} \def\BL{{\mathcal{BL}}} \newcommand\Sn[1][n]{\mathcal{S}_{#1}} \newcommand\An[1][n]{\mathcal{A}_{#1}} \motreserve{\Hom}{Hom} \motreserve{\End}{End} \motreserve{\Aut}{Aut} \motreserve{\af}{Aff} \def\transpose#1{{\vphantom{#1}}^{t}\!{#1}} \motreserve{\Diag}{Diag} \motreserve{\Trig}{Trig} \motreserve{\Com}{Com} \motreserve{\codim}{codim} \let\com=\Com \motreserve{\sp}{sp} \let\Sp=\sp \motreserve{\car}{car} \let\Car=\car \motreserve\rang{rang} %%% EVN, EUCLIDIENS %%%%%% \def\norme#1{\mathopen\|#1\mathclose\|} \def\Norme#1{\bigl\|#1\bigr\|} \def\NORME#1{\left\|#1\right\|} \def\troisbarres{|\!|\!|} \def\Troisbarres{\big|\!\big|\!\big|} \def\TROISBARRESL{\left|\!\left|\!\left|} \def\TROISBARRESR{\right|\!\right|\!\right|} \def\normeop#1{\mathopen{\troisbarres}#1\mathclose{\troisbarres}} \def\Normeop#1{\mathopen{\Troisbarres}#1\mathclose{\Troisbarres}} \def\NORMEOP#1{\TROISBARRESL#1\TROISBARRESR} \def\va#1{\mathopen|#1\mathclose|} \def\Va#1{\bigl|#1\bigr|} \def\VA#1{\left|#1\right|} \def\angle#1{\widehat{(#1)}} \motreserve{\Diam}{Diam} \motreserve{\Is}{Is} \motreserve{\Det}{Det} \def\ps#1#2{\mathopen{\mbox{(}}\,#1\mathrel{|}#2\,\mathclose{\mbox{)}}} \def\Ps#1#2{\bigl(#1\bigm|#2\,\bigr)} \def\PS#1#2{% \left(\,#1\vphantom{#2}\,\right|\left.\vphantom{#1}#2\,\right)} %%%%%%% ENSEMBLES DE FONCTIONS %%%%%%%%% \def\FF{{\mathcal F}} % ensemble des fonctions \def\CC{{\mathcal C}} % fonctions continues ou de classe C^k \newcommand\CM[1][]{{\mathcal C}^{#1}\!{\mathcal M}} % fonctions continues ou de classe C^k par morceaux \def\LL{{\mathcal L}} % fonctions intégrables \def\PP{{\mathcal P}} \def\tq{\mid} \def\Tq{\bigm|} \def\tq{\mid} \def\Tq{\bigm|} \def\pour{\,;\;} %\def\un{\mathbb{1}} \def\un{{1\kern -.23em \text{l}}} %%% Problème avec \max ET \min qui donnent old... \def\max{\mathop{\rm max}\nolimits} \def\min{\mathop{\rm min}\nolimits} %%%%%%% DERIVEES PARTIELLES %%%%%%%%% \newcommand\derp[2][x_j]{\frac{\partial #2}{\partial #1}} %%%%%%% INTERVALLE ENTIERS %%%%%%%%% \let\ceo=\crochetentierouvrant \let\cef=\crochetentierfermant \def\vi{\vec\imath} \def\vj{\vec\jmath} \def\vk{\vec k} %%% EVN, EUCLIDIENS %%%%%% \let\ch=\cosh \let\sh=\sinh \let\th=\tanh \def\argcosh{\mathop{\rm argcosh}\nolimits} \def\argsinh{\mathop{\rm argsinh}\nolimits} \def\argtanh{\mathop{\rm argtanh}\nolimits} \def\d{\mathinner{\rm d}\mathclose{}} %%%%%%% PROBABILITES %%%%%%%%% \def\Prob{{\mathbb P}} \def\Esp{{\mathbb E}} \def\Var{{\mathbb V}} \newcommand{\Cov}{\textrm{Cov}} \newcommand{\cov}{\textrm{Cov}} %%% Pour mettre les limites (et autres) en dessous sans utiliser \limits \let\oldbigcup=\bigcup \def\bigcup{\oldbigcup\limits} %\let\oldlim=\lim %\def\lim{\oldlim\limits} \let\oldbigcap=\bigcap \def\bigcap{\oldbigcap\limits} \let\oldsum=\sum \def\sum{\oldsum\limits} \let\oldprod=\prod \def\prod{\oldprod\limits} \let\oldcoprod=\coprod \def\coprod{\oldcoprod\limits} %\let\oldsup=\sup %\def\sup{\oldsup\limits} %\let\oldinf=\inf %\def\inf{\oldinf\limits} \let\oldlimsup=\limsup \def\limsup{\oldlimsup\limits} \let\oldliminf=\liminf \def\liminf{\oldliminf\limits} \let\oldmax=\max \def\max{\oldmax\limits} \let\oldmin=\min \def\min{\oldmin\limits} \let\oldbigotimes=\bigotimes \def\bigotimes{\oldbigotimes\limits} \let\oldbigoplus=\bigoplus \def\bigoplus{\oldbigoplus\limits} \let\oldbigsqcup=\bigsqcup \def\bigsqcap{\oldbigsqcap\limits} \let\oldbigsqcap=\bigsqcap \def\bigsqcap{\oldbigsqcap\limits} \let\oldint=\int \def\int{\displaystyle\oldint} \)
\( \def\DD{{\cal D}} \def\II{{\cal I}} \def\Bg{\mathbf g} \def\Be{\mathbf e} \def\Bf{\mathbf f} \def\Ba{\mathbf a} \)
Image du livre
Familles libres, génératrices, bases
sous-espaces supplémentaires
  1. Familles génératrices, familles libres, bases
    1. Familles génératrices finies
    2. Familles libres finies
    3. Bases finies
    4. Généralisation : familles quelconques et parties
  2. Sommes, sommes directes
    1. Sommes de sous-espaces vectoriels
    2. Sommes directes de sous-espaces vectoriels
    3. Projections et projecteurs
    4. Symétries
    5. Formes linéaires et hyperplans (MPSI)

Familles libres, génératrices, bases
sous-espaces supplémentaires


  1. Familles génératrices, familles libres, bases
    Dans toute cette partie, $E$ désigne un $\K$-espace vectoriel.
    1. Familles génératrices finies d'un espace vectoriel
      1. Définition, exemples
      2. Premières propriétés des familles génératrices
      3. Familles génératrices et applications linéaires
    2. Familles libres finies
      1. Définition
      2. Cas particuliers : familles de un ou deux vecteurs
      3. Cas général
      4. Premières propriétés des familles libres finies
      5. Démontrer l'indépendance d'une famille de proche en proche
      6. Familles libres et applications linéaires
      7. Taille maximale d'une famille libre
    3. Bases finies d'un espace vectoriel
      1. Définition, décomposition dans une base finie
      2. Droites et plans vectoriels
      3. Bases et applications linéaires
    4. Généralisation : familles quelconques et parties
      Dans toute la suite $E$ désigne un $\K$-espace vectoriel.
      1. Introduction
      2. Combinaisons linéaires des éléments d'une famille, d'une partie
      3. Sous-espaces engendré par une famille, par une suite, par une partie
      4. Familles libres quelconques
      5. Parties libres
      6. Bases quelconques
      7. Familles et applications linéaires
  2. Sommes, Sommes directes de sous-espaces
    Dans cette partie, les espaces vectoriels utilisés sont quelconques et n'ont aucune raison d'avoir une base.
    1. Somme de sous-espaces vectoriels
      1. Cas de deux sous-espaces vectoriels
      2. Somme de $ p$ sous-espaces vectoriels (MPSI seulement)
    2. Somme directe de sous-espaces vectoriels
      1. Somme directe de deux sous-espaces vectoriels
      2. Sous-espaces vectoriels supplémentaires de $ E$
      3. Définition d'une application linéaire par ses restrictions à des supplémentaires
      4. Somme directe de $ p$ sous-espaces vectoriels (MPSI)
    3. Projections, projecteurs
      1. Exemples connus dans le plan et l'espace
      2. Projection sur un sous-espace parallèlement à un supplémentaire
      3. Projections et projecteurs
    4. Symétries
      1. Exemples connus dans le plan et l'espace
      2. Symétries par rapport à un sous-espace parallèlement à un supplémentaire
      3. Endomorphismes involutifs
    5. Formes linéaires et hyperplans (MPSI seulement)
      1. Formes linéaires : définition, exemples
      2. Formes linéaires coordonnées
      3. Hyperplans vectoriels
      4. Équations d'un hyperplan