Utiliser les opérations $L_4\leftarrow L_4-t\,L_3$
puis $L_3\leftarrow L_3-t\,L_2$ et enfin $L_2\leftarrow L_2-t\,L_1$
Les opérations $L_4\leftarrow L_4-t\,L_3$ puis $L_3\leftarrow L_3-t\,L_2$
et enfin $L_2\leftarrow L_2-t\,L_1$ donnent :
\[
p(t) =
\left| \begin{array}{cccc}
1&1&1&1 \\
a-t&b-t&c-t&0 \\
a^2-a\,t&b^2-b\,t&c^2-c\,t&0 \\
a^3-a^2\,t&b^3-b^2\,t&c^3-c^2\,t&0
\end{array}\right|
\]
En développant par rapport à la dernière colonne, on obtient :
\[
p(t) =-
\left| \begin{array}{ccc}
a-t&b-t&c-t\\
a^2-a\,t&b^2-b\,t&c^2-c\,t\\
a^3-a^2\,t&b^3-b^2\,t&c^3-c^2\,t
\end{array}\right|.
\]
On peut alors mettre en facteur $(a-t)$ dans la première colonne, $b-t$ dans la seconde
et $(c-t)$ dans la dernière, ce qui donne :
\[
p(t) =(t-a)\,(t-b)\,(t-c)
\left| \begin{array}{ccc}
1&1&1\\
a&b&c\\
a^2&b^2&c^2
\end{array}\right|.
\]
On peut alors :
>> si on la connaît, donner la valeur de ce déterminant $3\times 3$ ;
>> sinon, introduire à nouveau des $0$ en dernière colonne avec les opérations :
$$L_3\leftarrow L_3-c\,L_2 \et[puis] L_2\leftarrow L_2-c\,L_1.$$
On obtient :
\[
\forall{t\in\R}\quad p(t) =( t-a)\,(t-b)\,(t-c)\,(c-a)\,(c-b)\,(b-a).
\]
Remarque La méthode précédente permet aussi un calcul par récurrence
d'un déterminant de Vandermonde d'ordre quelconque.