\(\def\R{\mathbb{R}} \def\Rpe{\R^{*}_+} \def\N{\mathbb{N}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\K{\mathbb{K}} \def\B{\mathbb{B}} \def\C{\mathbb{C}} \def\U{\mathbb{U}} \let\leq=\leqslant \let\geq=\geqslant \let\ge=\geq \let\le=\leq \def\RR{{\mathcal R}} \def\vect#1{\overrightarrow{#1}} \def\fa#1{\forall #1 \quad} \def\ex#1{\exists #1 \quad} \def\crochetentierouvrant{\mathopen{[\![}} \def\crochetentierfermant{\mathclose{]\!]}} \newcommand{\Et}[1][et]{\qquad\mbox{#1}\qquad} % Dans les formules \newcommand{\Ou}{\Et[ou]} % en display \newcommand{\Avec}{\Et[avec]} % \newcommand{\et}[1][et]{\quad\mbox{#1}\quad} % Dans les formules \newcommand{\ou}{\et[ou]} % en display \newcommand{\avec}{\et[avec]} % \newcommand\res[1]{\fbox{#1}} \let\oldphi=\phi \renewcommand{\phi}{\varphi} \newcommand{\eps}{\varepsilon} \let\epsilon=\eps \newcommand{\fonction}[5][rcl] {\begin{array}[t]{#1} #2& \longrightarrow& #3\\ #4& \longmapsto& #5\end{array}} 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\let\cef=\crochetentierfermant \def\vi{\vec\imath} \def\vj{\vec\jmath} \def\vk{\vec k} %%% EVN, EUCLIDIENS %%%%%% \let\ch=\cosh \let\sh=\sinh \let\th=\tanh \def\argcosh{\mathop{\rm argcosh}\nolimits} \def\argsinh{\mathop{\rm argsinh}\nolimits} \def\argtanh{\mathop{\rm argtanh}\nolimits} \def\d{\mathinner{\rm d}\mathclose{}} %%%%%%% PROBABILITES %%%%%%%%% \def\Prob{{\mathbb P}} \def\Esp{{\mathbb E}} \def\Var{{\mathbb V}} \newcommand{\Cov}{\textrm{Cov}} \newcommand{\cov}{\textrm{Cov}} %%% Pour mettre les limites (et autres) en dessous sans utiliser \limits \let\oldbigcup=\bigcup \def\bigcup{\oldbigcup\limits} %\let\oldlim=\lim %\def\lim{\oldlim\limits} \let\oldbigcap=\bigcap \def\bigcap{\oldbigcap\limits} \let\oldsum=\sum \def\sum{\oldsum\limits} \let\oldprod=\prod \def\prod{\oldprod\limits} \let\oldcoprod=\coprod \def\coprod{\oldcoprod\limits} %\let\oldsup=\sup %\def\sup{\oldsup\limits} %\let\oldinf=\inf %\def\inf{\oldinf\limits} \let\oldlimsup=\limsup \def\limsup{\oldlimsup\limits} \let\oldliminf=\liminf \def\liminf{\oldliminf\limits} \let\oldmax=\max \def\max{\oldmax\limits} \let\oldmin=\min \def\min{\oldmin\limits} \let\oldbigotimes=\bigotimes \def\bigotimes{\oldbigotimes\limits} \let\oldbigoplus=\bigoplus \def\bigoplus{\oldbigoplus\limits} \let\oldbigsqcup=\bigsqcup \def\bigsqcap{\oldbigsqcap\limits} \let\oldbigsqcap=\bigsqcap \def\bigsqcap{\oldbigsqcap\limits} \let\oldint=\int \def\int{\displaystyle\oldint} \)
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Polynômes
  1. Généralités
    1. Ensemble $\K[X]$
    2. Degré d'un polynôme
    3. Substitution dans un polynôme
  2. Divisibilité et division euclidienne
    1. Multiples, diviseurs, irréductibles
    2. Division euclidienne sur $\K[X]$
  3. Racines et fonctions polynomiales
    1. Racines
    2. Fonctions polynomiales
    3. Ordre de multiplicité d'une racine
    4. Interpolation
  4. Dérivation
    1. Polynôme(s) dérivé(s)
    2. Formule de Taylor, ordre d'une racine
  5. Factorisations
    1. Polynômes irréductibles de $\C[X]$ et $\R[X]$
    2. Relations entre coefficients et racines

Polynômes

Dans tout ce chapitre, $\K $ désigne $\R$ ou $\C$.
  1. Généralités
    1. Ensemble $\K[X]$ des polynômes
      1. Construction (non exigible) de $\K[X]$
      2. Espace vectoriel des polynômes à une indéterminée
      3. L'anneau des polynômes à une indéterminée
    2. Degré d'un polynôme
      1. Définition, coefficient dominant, polynôme unitaire
      2. Degré d'une somme, d'un produit
      3. Ensemble $\K_n[X]$ des polynômes de degré au plus $ n$
      4. Simplification par un polynôme non nul
    3. Substitution dans un polynôme
      1. Évaluation en $ \alpha\in\K$
      2. Composition de polynômes
  2. Divisibilité et division euclidienne
    1. Multiples, diviseurs, irréductibles
      1. Définition
      2. Polynômes associés
      3. Polynômes irréductibles
    2. Division euclidienne dans $\K[X]$
      1. Définition
      2. Comment poser une division euclidienne?
      3. Exemples d'utilisation
  3. Racines et fonctions polynomiales
    1. Racines
      1. Définition, exemples
      2. Racines, divisibilité et factorisation
      3. Nombre de racines distinctes d'un polynôme
      4. Racines et irréductibilité
    2. Fonctions polynomiales
      1. Définition, exemples et contre-exemples
      2. Identification entre polynôme et fonction polynomiale
    3. Ordre de multiplicité d'une racine
      1. Définition, première caractérisation
      2. Application : divisibilité, factorisation
    4. Interpolation
      1. Définition
      2. Formule d'interpolation de Lagrange
      3. Ensemble des polynômes d'interpolation
  4. Dérivation
    1. Polynôme(s) dérivé(s)
      1. Polynôme dérivé
      2. Polynômes dérivés successifs
    2. Formule de Taylor, ordre d'une racine
      1. Formule de Taylor
      2. Caractérisation de l'ordre de multiplicité d'une racine
  5. Factorisations
    1. Polynômes irréductibles de $\C[X]$ et $\R[X]$
      1. Théorème de d'Alembert
      2. Factorisation dans $\C[X]$
      3. Un résultat important de divisibilité
      4. Factorisation dans $\R[X]$
    2. Relations entre coefficients et racines
      1. Polynômes scindés
      2. Polynômes scindés de degré $ 2$ et $ 3$
      3. Somme et produit des racines d'un polynôme scindé
      4. Autres fonctions symétriques élémentaires